Tip:
Highlight text to annotate it
X
Powiedzmy, że mam dwa niezerowe wektory
Powiedzmy, że pierwszy z nich to x, z drugi to y.
Oba są elementami przestrzeni R^n i są niezerowe.
Okazuje się, że wartość bezwzględna ich... -
napiszę to innym kolorem.
Ten kolor jest ładny.
Wartość bezwzględna iloczynu skalarnego dwóch takich wektorów
-i pamiętaj, że jest to wielkość skalarna-
jest mniejsza lub równa iloczynowi ich długości.
Mamy już zdefiniowany iloczyn skalarny i długości.
Jest mniejszy lub równy iloczynowi ich długości i
co więcej, tylko w jednym przypadku zachodzi równość,
dlatego iloczyn skalarny dwóch wektorów jest równy długości tych wektorów gdy -
jest mniejszy
lub równość zachodzi tylko w jednym przypadku -napiszę to na dole-
kiedy jeden z wektorów jest wielokrotnością drugiego.
czyli są współliniowe.
Wiesz, jeden jest dłuższą lub krótszą wersją drugiego.
Tylko wtedy gdy x jest równe y pomnożonemu przez liczbę.
Ta nierówność jest nazywana nierównością Cauchy'ego-Shwarza.
Nierówność Cauchy'ego-Shwarza.
Udowodnijmy to bo nie można wziąć
po prostu wartości nominalnej.
Nie można tego akceptować.
Użyję trochę sztucznej funkcji.
Użyję tej funkcji - to funkcja pewnej zmiennej,
zmiennej t.
p(t) jest równe długości wektora -
pomnożony przez liczbę t wektor y
minus wektor x.
To jest długość tego wektora.
To będzie teraz wektor.
Podniesiony do kwadratu.
Teraz, zanim przejdę dalej chciałbym tu zrobić małą uwagę.
Jeśli wezmę długość jakiegoś wektora, zrobię to tutaj.
Powiedzmy biorę długość wektora v.
Chcę żebyś zrozumiał, że to będzie liczba nieujemna
czyli liczba większa lub równa zero.
Bo każdy z tych składników jest kwadratem.
v2 jest podniesiony do kwadratu i wszystkie do vn też. Wszystkie są liczbami rzeczywistymi.
Kiedy liczbę rzeczywistą podnosisz do kwadratu
otrzymujesz coś większego lub równego 0.
Kiedy je dodajesz dostajesz coś
większego lub równego zero.
A kiedy wyciągasz z tego pierwiastek kwadratowy,
dodatni pierwiastek kwadratowy,
to masz coś większego lub równego zero.
Więc długość każdego rzeczywistego wektora
jest większa lub równa 0.
To jest długość wektora.
To jest większe lub równe 0.
Teraz, w poprzednim filmie myślę że to było dwa filmy wcześniej,
zostało pokazane, że kwadrat długości wektora
może być zapisany jako iloczyn skalarny
tego wektora z samym sobą.
Przepiszmy to w ten sposób.
Długość wektora podniesiona do kwadratu jest równa iloczynowi skalarnemu
tego wektora z samym sobą.
To jest ty minus x kropka ty minus x.
W poprzednim filmie pokazałem ze możesz traktować mnożenie,
lub możesz traktować iloczyn skalarny
podobnie do zwykłego mnożenia
jeśli chodzi o dodawanie, podział
i przemienność.
Kiedy to mnożysz, wiesz, możesz to zrobić
jak przy mnożeniu dwóch dwumianów.
Możesz to zrobić w ten sam sposób w jaki mnożymy
dwa dwumiany.
Możesz to zrobić korzystając z własności rozdzielności.
Ale pamiętaj, to nie jest zwykłe mnożenie.
Mnożymy to skalarnie.
To jest mnożenie wektorów lub
jedna z wersji mnożenia wektorów.
Jak to rozdzielimy będzie ty kropka ty.
Napiszę to tutaj.
To będzie ty kropka ty.
I kiedy weźmiemy minus - zrobię to w ten sposób.
dostaniemy minus x razy ty.
Zamiast mówić razy powinienem być ostrożniejszy
i powiedzieć kropka.
Mamy minus x kropka ty.
I mamy ty kropka minus x.
Czyli minus ty kropka x.
Na końcu mamy x kropka ze sobą.
I możesz to widzieć jako minus 1x kropka minus 1x.
Można powiedzieć plus minus 1x.
Możesz na to patrzeć jako na plus minus 1 lub plus minus 1.
To jest minus 1x kropka minus 1x.
Zobaczmy.
Całe wyrażenie jest uproszczone lub
rozłożone.
Nie mogę tego naprawdę nazwać uproszczeniem.
Ale możemy użyć faktu, że to jest przemienne
i łączne do przepisania tego wyrażenia tutaj.
To jest równe y kropka y pomnożone przez kwadrat t.
T jest liczbą.
Minus - i faktycznie jest to dwa.
Te dwie rzeczy są równoważne.
To jest tylko przeorganizowane, a wiemy
że iloczyn skalarny jest łączny.
To jest równe dwa razy x kropka y pomnożone przez t.
Może powinienem to napisać innym kolorem.
Dwa razy ten wynik.
Jeśli tylko to przestawisz to masz minus 1 razy
minus 1.
Więc to się staje
x kropka x.
I powinienem zrobić to innym kolorem.
Napiszę to na pomarańczowo.
Te dwa warunki wynikają z tego.
I pamiętaj, że wszystko przepisałem.
To jest większe lub równe 0.
Mogę to tutaj przepisać.
To nadal jest to samo.
Przepisałem to.
To wszystko jest większe lub równe 0.
Teraz zróbmy małą zamianę żeby uporządkować
nasze wyrażenie.
Później z powrotem to podstawimy.
Nazwijmy to a.
Nazwijmy ten kawałek tutaj b.
Całe 2x dot y.
Zostawię tutaj t.
Nazwijmy to lub nazwę to tutaj c.
x kropka x jako c.
Czym się stało nasze wyrażenie?
Zrobiło się z tego t kwadrat minus - staram się uważać na kolory -
b razy t plus c.
Oczywiście wiemy, że to jest większe lub równe 0.
To jest to samo co tutaj, większe lub równe 0.
Mogę zapisać funkcję p od t tutaj.
Teraz jest ona większa lub równa 0 dla każdego t.
Dla każdego rzeczywistego t które tu wstawię.
Biorę wartość funkcji p w punkcie b/2a.
I mogę to zrobić bo czym jest a?
Muszę się po prostu upewnić, że nie dzielę przez zero.
a jest wektorem skalarnie wymnożony przez siebie.
I powiedzieliśmy, że to jest niezerowy wektor.
To jest kwadrat długości.
To jest niezerowy wektor,
więc jego długość jest większa od zera.
Więc to coś tutaj jest niezerowe.
To jest niezerowy wektor.
Dwa razy iloczyn skalarny tego wektora przez siebie też
jest niezerowy.
Więc możemy to zrobić.
Nie martwimy się o dzielenie przez zero.
Ale ile to się równa?
To będzie równe - i będę się trzymać zielonego.
To trwa zbyt długo żeby móc panować *** kolorami.
To jest równe a razy to wyrażenie do kwadratu.
To jest kwadrat b przez 4 kwadraty a.
Po prostu 2a do kwadratu i mamy 4 razy kwadrat a.
Minus b razy to.
b razy - to jest zwykłe mnożenie.
b razy b/2a.
Zapiszę to mnożenie tutaj.
Plus c.
I wiemy że to wszystko jest większe lub równe 0.
Czy możemy trochę uprościć to co nam wyszło?
a niweluje wykładnik
i b kwadrat tutaj.
Mamy kwadrat b przez 4a minus kwadrat b przez 2a
Plus c jest większe lub równe zero.
Niech to przepiszę.
Jeśli pomnożę licznik i mianownik przez 2 to co dostanę?
Dostanę 2b przez 4a.
Zrobiłem to aby uzyskać
wspólny mianownik.
Co dostajemy?
Masz kwadrat b przez 4a minus 2 razy kwadrat b przez 4a.
Jak to uprościć?
Licznik wynosi b do kwadratu minus 4 razy kwadrat b.
Z tego wynika, że minus kwadrat b przez 4 a plus c jest
większe lub równe 0.
Dodajemy to tutaj.
Jeśli dodamy to do obu stron nierówności
dostaniemy, że c jest większe lub równe niż kwadrat b przez 4a
To było ujemne po lewej stronie.
Jeśli dodam to do obu stron to będzie dodatnie
po prawej stronie.
Zbliżamy się do czegoś co wygląda jak nierówność,
Podstawmy wszystko z powrotem
żeby zobaczyć co mamy teraz.
Gdzie są moje podstawienia których użyłem?
To było tutaj.
Żeby bardziej uprościć pomnóżmy obie strony
przez 4a.
a jest nie tylko niezerowe
Ono jest dodatnie.
To jest kwadrat długości.
I już pokazałem, że długość rzeczywistego wektora
jest dodatnia.
I zadaję sobie tyle trudu pokazując,
że a jest dodatnie, bo jeśli mnożę obie trony przez a,
to nie chcę zmieniać znaku nierówności.
Pomnóżmy obie strony nierówności przez a przed podstawieniem.
Dostajemy 4ac jest większe lub równe b do kwadratu.
I pamiętaj, włożyłem w to wiele wysiłku.
Już powiedziałem, że a jest na pewno dodatnie, bo jest
w istocie kwadratem długości. y kropka y jest kwadratem
długości wektora y i jest dodatnią wartością.
To musi być dodatnie.
Mamy do czynienia z rzeczywistymi wektorami.
Wróćmy do podstawiania.
4 razy a, 4 razy y kropka y.
y kropka y jest też - równie dobrze mogę to tu zapisać.
y kropka y to to samo co wielkość y kwadrat
To jest y kropka y.
To jest a.
y kropka y, pokazywałem Ci to na innym filmie.
Razy c.
c to x kropka x.
x kropka x to to samo co
kwadrat długości wektora x.
Więc to jest c.
4 razy a razy c jest większe lub równe
b do kwadratu.
Teraz, czym jest b? b było tutaj.
Kwadrat b to będzie 2 razy x kropka y do kwadratu.
Doszliśmy do takiego wyniku.
I co możemy z tym zrobić?
Oh przepraszam, i to wszystko jest do kwadratu.
Wszystko tutaj to b.
Zobaczmy czy możemy to uprościć.
Dostajemy - wezmę inny kolor.
4 razy kwadrat długości y razy kwadrat długości x
jest większy lub równy - jeśli podnieśliśmy tę wartość
do kwadratu, otrzymujemy 4 razy x kropka y.
4 razy x kropka y razy x kropka y.
Faktycznie, lepiej zapisać to tak.
Napiszę 4 razy x kropka y do kwadratu.
Teraz możemy podzielić obie strony przez 4.
To nie zmieni naszej nierówności.
Po prostu je zamażę.
Teraz wyciągnijmy pierwiastek kwadratowy
z obu stron nierówności.
Pierwiastki kwadratowe z obu stron nierówności - to
są dodatnie wartości
Jeśli wyciągniesz pierwiastek kwadratowy z obydwu stron nierówności
dostaniesz, że długość y razy długość x jest większa lub równa
pierwiastkowi z tego.
I będziemy brać dodatni pierwiastek kwadratowy.
I będziemy brać dodatni pierwiastek kwadratowy
z obu stron nierówności.
Dzięki temu unikamy bałaganu w nierówności lub coś takiego.
Dodatni pierwiastek kwadratowy jest wartością
bezwzględną x kropka y.
I chcę być bardzo ostrożny mówiąc, że to jest wartość
bezwzględna ponieważ możliwe, że tutaj
jest liczba ujemna.
Jeśli masz kwadrat, musisz uważać
kiedy bierzesz pierwiastek kwadratowy z tego
aby dostać dodatnią wartość.
Bo inaczej kiedy weźmiemy pierwiastek kwadratowy
możemy mieć chaos w nierównościach.
Wyciągamy dodatni pierwiastek kwadratowy który będzie -
jeśli weźmiesz wartość bezwzględną masz pewność
że będzie dodatni.
Ale to jest nasz wynik.
Wartość bezwzględna iloczynu skalarnego naszych wektorów
jest mniejsza lub równa od iloczynu długości tych wektorów.
Otrzymaliśmy nierówność Cauchy'ego-Schwarza.
Teraz ostatnia rzecz o której powiem, co się dzieje
jeśli x jest równe wielokrotności y?
Co jest w tym przypadku wartością bezwzględną?
Absolutną wartością x kropka y?
Jest równy - równy czemu?
Jeśli zrobimy zmianę taką gdzie to jest równe wartości
bezwzględnej c razy y.
To tylko x kropka y, które jest równe tylko
z własności dodawania.
To jest równe wartości bezwzględnej c razy - chcemy
mieć pewność, że nasza wartość bezwzględna jest dodatnia.
y kropka y.
To jest po prostu równe wielkości c razy
kwadrat długości y.
To jest równe wartości bezwzględnej c
razy długość wektora y.
To jest tutaj, mogę to przepisać.
Czyli możesz to udowodnić samodzielnie jeśli nie wierzysz,
ale możemy umieścić c wewnątrz
i dowód może być dla Ciebie dobrym ćwiczeniem.
Ale to jest bardzo proste.
Po prostu wykorzystujesz definicję długości.
I mnożysz przez c.
To jest równe długości wektora cy
razy długość wektora y.
Gdzieś tutaj porzuciłem notację wektorową.
Teraz to jest x.
To jest równe długość x razy dłuść y.
Pokazałem drugą część dowodu
nierówności Cauchy'ego-Schwarza, równość zachodzi tylko wtedy gdy
jeden z wektorów jest wielokrotnością drugiego.
Jeśli niektóre z części dowodu są dla Ciebie niewygodne
To możesz je udowodnić w ramach ćwiczenia.
Na przykład, dowód tego, że wartość
bezwzględna c razy długość wektora y jest
tym samym co długość c razy y.
W każdym razie, mam nadzieję że będzie to dla Ciebie przydatne.
Nierówności Cauchy'ego-Schwarza będziemy używać w dowodach
innych wyników w algebrze liniowej.
W następnym filmie pokażę Ci
trochę więcej intuicji o tym dlaczego to ma
sens w stosunku do iloczynu skalarnego.