Tip:
Highlight text to annotate it
X
Dziś będziemy liczyć nieskończoności. Liczenie wydaje się być całkiem banalne. Kiedy na przykład mówimy,
że mamy pięć owiec, to oznacza, że mamy po jednej owcy na każdą liczbę od jednego do pięciu.
A dziesięć owiec oznacza jedną na każdą liczbę od jednego do dziesięciu... albo od dwóch do jedenastu.
Tak więc mówimy, że dwa zbiory mają taką samą liczbę elementów, jeśli potrafimy narysować
linię łączącą każdy element z pierwszego zbioru z dokładnie jednym elementem drugiego zbioru i vice-versa.
Są jak koledzy!
To to samo, kiedy mówimy, że dwa plus jeden równa się trzy, albo, że trzy nie równa się czterem:
po prostu opisujemy linie, które rysuje się, ustanawiając relację pomiedzy zbiorami.
Ale tak, czy siak, liczenie owiec jest nudne, chyba że chcesz liczyć NIESKOŃCZENIE WIELE owiec.
Na przykład... gdybyś miał owcę dla każdej liczby z przedziału miedzy 0 a 2, to czy miałbyś więcej owiec,
niż gdybyś miał po jednej dla każdej liczby z przedziału od 0 do 1? Nie! Ponieważ możesz ustanowić relację
pomiędzy liczbą z przedziału od 0 do 1 z jej podwojoną wartością, co da ci każdą liczbę z przedziału od 0 do 2 (a gdybyś chciał(a)
"odwrócić" tę operację, wystarczy, że podzielisz każdą liczbę z przedziału od 0 do 2, aby z powrotem
otrzymać wszystkie liczby z przedziału od 0 do 1).
Okazuje się, że jest więcej liczb rzeczywistych pomiędzy 0 a 1, niż nieskończenie wielu liczb naturalnych,
jak 1, 2, 3, 4, itd. Ale skąd, u licha, my to wiemy? Wystarczy narysować parę kresek.
Dla "1" narysujmy kreskę prowadzącą ją do jakiejś liczby pomiędzy 0 a 1. "2" połączmy z inną liczbą.
Trójkę połączmy linią z jeszcze inną liczbą pomiędzy... zero a jeden. I tak dalej, i tak dalej.
Ale niezależnie od tego z jakimi liczbami pomiędzy 0 a 1 połączyliśmy nasze linie, zawsze możemy
napisać liczbę pomiędzy 0 a 1, która różni się pierwszą cyfrą z tą liczbą, drugą cyfrą z tą,
trzecią cyfrą z tą... i tak dalej... Tak więc ta nowa liczba będzie inna od wszystkich
do których narysowaliśmy linie. Ale my narysowaliśmy linie prowadzące
od każdej liczby naturalnej, więc nie została żadna liczba naturalna, która mogła by być partnerką naszej liczby!
Co więcej, dzięki temu sprytnemu sposobowi, możemy znaleźć taką osieroconą liczbę
niezależnie od tego, jakie liczby wybraliśmy, co oznacza, że NIGDY nie połączymy
liczb naturalnych i liczb pomiędzy 0 a 1 przy użyciu tylko jednej kreski na liczbę naturalną.
A to oznacza, że naprawdę jest więcej liczb w przedziale od 0 do 1, niż liczb
w nieskończonym zbiorze liczb naturalnych 1, 2, 3, 4 i tak dalej.
Więc, Hazel Grace, niektóre nieskończoności naprawdę są większe od innych.