Tip:
Highlight text to annotate it
X
W tym filmie chciałbym powiedzieć parę słów o ciągłości funkcji.
Ciągłość funkcji jest czymś prostym do zobaczenia na rysunku.
Jednak postaramy się zdefiniować ją w sposób ścisły.
Co rozumiem przez "proste do zobaczenia",
Narysuję oś OY, tutaj jest oś OX.
... i jeśli narysuję wykres funkcji, powiedzmy że f(x) wygląda jakoś tak.
I chciałbym powiedzieć czy na przedziale, który narysowałem...
niech to będzie od x=0 do tego tutaj punktu.
Czy ta funkcja jest ciągła? Cóż, mógłbyś powiedzieć "Nie, nie jest.
Zobacz, że w tym tutaj miejscu funkcja nagle gwałtownie wyskakuje w górę".
Na przedziale od tego punktu do dokładnie tego tutaj punktu.
Funkcja ta NIE jest ciągła.
Mówimy, że mamy punkt nieciągłości dla tej wartości x tutaj.
Nazywamy to nieciągłością.
Ten rodzaj nieciągłości nazywamy punktem nieciągłości pierwszego rodzaju.
W tym przypadku oczywiste jest, że funkcja nie jest ciągła bowiem te dwa kawałki wykresu nie są połączone.
Nie dotykają się w żaden sposób.
Podobnie, gdy spojrzymy na funkcję, która wygląda tak - narysuję kolejną
OY, i tutaj mamy OX. Niech nowa funkcja wygląda jakoś tak... może
w tym miejscu wygląda dokładnie tak, a dla tego jednego punktu funkcja przyjmuje wartość w tym miejscu.
Dokładnie tutaj.
Czy ta funkcja jest ciągła na przedziale który tutaj narysowałem?
Pewnie od razu odpowiesz "nie, nie jest", ponieważ w tym punkcie funkcja znowu nagle wyskakuje w górę.
Dokładnie tak. Ten rodziaj nieciągłości
... nazywamy usuwalnym punktem nieciągłości.
Można powiedzieć, że to również wygląda jak punkt nieciągłości pierwszego rodzaju, ale mówimy usuwalny punkt nieciągłości
... ponieważ wystarczy zdefiniować funkcję inaczej tylko w tym punkcie, aby nie przyjmowała tak dużej wartości...
... ale aby przyjmowała dokładnie tę tutaj wartość i funkcja od razu będzie ciągła.
... usuniemy tak nieciągłość.
Na koniec, jeśli narysuję jeszcze inną funkcję.
Narysuję teraz tutaj kolejną. OX, OY.
I znowu pytam się "czy ta funkcja jest ciągła na przedziale który tutaj narysowałem?".
Można by odpowiedzieć "Cóż, wygląda na to, że wszystko jest połączone. Nie ma tutaj żadnych przeskoków...
... czy też usuwalnych punktów nieciągłości. Ta funkcja wygląda na ciągłą".
Ciągła. I to jest prawda.
Taka jest właśnie główna idea ciągłości.
Łatwo ją zobaczyć na rysunku.
Spróbujmy jednak teraz pomyśleć *** bardziej ścisłą definicją ciągłości.
Skoro mamy już definicję granicy...
epsilonowo-deltowa definicja granicy jest bardzo ścisłą definicją.
Możemy za jej pomocą udowodnić kiedy granica istnieje i jaka jest jej wartość.
Użyjmy więc tej definicji do skonstruowania ścisłej definicji ciągłości.
Wyobraźmy sobie funkcję na jakimś przedziale.
Powiedzmy, że mamy... narysuję kolejny przykład funkcji,
Narysuję jakąś funkcję.
I zobaczymy czy nasza ścisła definicja ciągłości zda egzamin dla wymyślonych wcześniej przykładów.
Narysuję jakiś przedział. Dokładnie tutaj.
Między tym punktem na osi x, a tym. To jest oś OX, a to jest oś OY.
I narysuję teraz funkcję na tym przedziale.
Niech wygląda jakoś tak.
Powiemy teraz, że funkcja ta jest ciągła w każdym wewnętrznym punkcie.
"Wewnętrzny punkt" oznacza punkt, który nie jest jednym z końców przedziału.
To jest właśnie na przykład wewnętrzny punkt tego przedziału.
Zarówno ten jak i ten punkt są punktami końcowymi przedziału.
Powiemy, że funkcja ta jest ciągła wewnątrz przedziału
wewnątrz tego przedziału, co oznacza
że granica dla dowolonego wewnętrzneo punktu c.
Niech to będzie punkt x=c.
Powiemy, że funkcja jest ciągła w wewnętrznym punkcie c, jeżeli granica naszej...
funkcji - to jest nasza funkcja, dokładnie tutaj - dla x...
zbiegającego do c jest równa wartości funkcji w punkcie c.
Czy to ma sens?
W ten sposób mówimy, że - tutaj jest f(c), dokładnie w tym miejscu -
granica funkcji w tym punkcie jest tym samym co wartość funkcji w tym punkcie.
Co brzmi bardzo sensownie.
Sprawdźmy czy to kryterium sprawdza się dla tych przykładów.
Cóż, tutaj powiedzmy że ten punkt jest naszym punktem c.
f(c) jest dokładnie tutaj.
To jest f(c). Teraz, czy w tym wypadku granica
f(x) dla x zbiegającego do c, jest równa f(c).
Cóż, gdy weźmiemy granicę f(x), gdy x zbiega do c z prawej strony
wygląda na to, że dostaniemy f(c).
Jednak gdy sprawdzimy granicę... To NIE jest równe, granicy
f(x) dla x zbiegającego do c z lewej strony.
Gdy zbiegamy z x do c z lewej strony, to wartość f nie dąży do f(c).
Stąd ta równość nie jest spełniona.
Aby granica była równa f(c), zarówno granica
lewo i prawo stronna musi być równa f(c). Tak nie jest w tym przypadku.
W takim razie ta funkcja nie spełnia naszej formalnej definicji ciągłości.
To bardzo dobrze, bowiem wcześniej na podstawie rysunku stwierdziliśmy, że funkcja ta nie jest ciągła.
Sprawdźmy jak jest w drugim przypadku.
Zmienię trochę rysunek. Tak aby była pewność, że tutaj mamy dziurę.
Tutaj widzimy... jaka jest granica - niech to będzie nasz punkt c, dokładnie tutaj - granica...
f(x) dla x zbiegającego do c.
Powiedzmy, że jest to równe L.
A więc jest to, widzieliśmy już takie przykłady wcześniej.
To jest to L dokładnie na tym poziomie.
Dosyć oczywiste jest, na podstawie rysunku, że to L nie jest równe f(c).
Ta tutaj wartość.
... to f(c).
A więc znowu, ten przypadek nie spełnia naszego testu na ciągłość.
Granica f(x), dla x zbiegającego do c, a więc ta tutaj wartość,
nie jest równa f(c). Dlatego nie spełnia naszego testu.
Z kolei tutaj, każdy wewnętrzny punkt spełnia nasz test.
Granica f(x), dla x zbiegającego do tej wartości, jest oczywiście równa wartości funkcji w tym punkcie.
Więc wygląda na to, że funkcja ta jest ciągła w każdym z tych punktów.
Teraz sformułujmy definicję ciągłości dla punktów końcowych przedziału.
A więc to jest ciągłość dla punktu wewnętrznego.
I pomyślmy *** ciągłością - zrobię to tutaj - w końcowym punkcie c przedziału.
Najpierw rozpatrzmy lewy brzeg przedziału.
Jeżeli lewy brzeg - co rozumiem przez "lewy brzeg"?
Narysuję obie osie. Oś OX. Oś OY.
Oraz narysuję mój przedział.
A więc to jest lewy punkt końcowy mojego przedziału. To jest jego prawy punkt końcowy.
I sobie narysuję funkcję na tym przedziale.
Niech wygląda jakoś tak.
Więc jeśli mówimy o lewym brzegu przedziału, to mówimy o tym punkcie c tutaj.
To jest lewy punkt końcowy przedziału.
A więc jeśli mówimy o ciągłości w lewym punkcie końcowym c naszego przedziału...
jeżeli mówimy, że funkcja jest ciągła w lewym punkcie końcowym c, oznacza to...
że granica f(x) gdy x dąży do c -
cóż, nie możemy dążyć do c z lewej strony, musimy to robić z prawej strony -
jest równa f(c).
Tak więc możemy zbiegać tylko z jednej strony.
Czyli nie możemy mówić o granicy w ogólności, ale możemy mówić o granicy jednostronnej.
Jest to więc bardzo podobne do tego co powiedzieliśmy o punktach wewnętrznych.
W tym przypadku rzeczywiście gdy x dąży do c
... nasza funkcja dąży do tego tutaj punktu
... co jest dokładnie tym samym co f(c).
W takim razie nasza funkcja jest ciągła w tym punkcie.
Jaki zatem może być przykład funkcji, która nie jest ciągła na końcu przedziału?
Cóż, wykres takiej funkcji mógłby wyglądać jakoś tak.
Tutaj jest nasz przedział.
I może niech funkcja wygląda tak. Punkt c jest tutaj. Zaznaczę w kółku.
W tym miejscu, na końcu przedziału, funkcja ma usuwalny punkt nieciągłości.
Tak to wygląda wizualnie.
I od razu widzimy, że taka funkcja nie spełnia naszej definicji ciągłości.
Ponieważ granica f(x) dla x dążącego do c, z prawej strony,
jest dokładnie tutaj.
To jest nasza granica.
Z kolei wartość funkcji w tym punkcie jest większa.
Więc f(c) jest różne od wartości granicy f(x) dla x dążącego do c z prawej strony.
Co nam daje, że funkcja ta nie jest ciągła.
Z pewnością możesz teraz wyobrazić sobie jak sytuacja wygląda na prawym końcu przedziału.
Powiemy, że funkcja jest ciągła w prawym końcu przedziału, jeżeli
- narysuję to.
Postaram się jak najlepiej to narysować.
Tutaj mamy oś OX. Tutaj będzie oś OY.
Narysuję teraz przedział.
Zrobię to starannie.
Prawy koniec przedziału oznacza, że punkt c jest dokładnie tutaj.
I mówimy, że funkcja jest ciągła...
w punkcie x=c, co oznacza, że granica f(x)...
dla x dążącego do c - znowu nie możemy do niego dążyć z obu stron.
Możemy do niego dążyć tylko z lewej strony.
- dla x dążącego do c, z lewej strony, jest równa f(c).
Jeśli to jest prawda, to implikuje to,
że funkcja jest ciągła w punkcie c - prawym końcu przedziału.
Implikacja w drugą stronę też jest prawdziwa.
Sytuacja kiedy funkcja nie jest tam ciągła?
Cóż, można wyobrazić sobie funkcję zdefiniowaną inaczej w tym punkcie,
tak, aby funkcja gwałtownie skoczyła w nim.
Dokładnie tak, jak zrobiliśmy to poprzednio.
Reasumując, ciągłość - nie jest to bardzo trudna do pojęcia idea.
Kiedykolwiek widać, że funkcja nagle gwałtownie skacze z wartością,
lub posiada dziurę na wykresie, można się spodziewać, że
funkcja nie jest w tym miejscu połączona.
Nie jest ciągła.
Ale to co zrobiliśmy w tym filmie to użyliśmy granicy
do zdefiniowania definicji ciągłości w sposób ścisły.