Tip:
Highlight text to annotate it
X
JAMES GRIME: Dziś porozmawiamy na temat
pytania, które dostajemy często w Numerofilach
Pytanie to -- więc, Brady, jakie to pytanie?
BRADY HARAN: Pytanie brzmi: Czemu 0 silnia równa się 1?
JAMES GRIME: Dokładnie.
Czemu 0 silnia równa się 1?
Zacznijmy od szybkiego przypomnienia
czym jest silnia.
Dla naszej liczby naturalnej, zapiszmy ją jako n,
n silnia, którą zapisujemy tak,
n z wykrzyknikiem.
To równa się..
mnożysz wszystkie naturalne liczby
mniejsze lub równe n.
N przemnożone przez n minus 1, przemnożone przez n minus 2,
przemnożone przez...
i tak dalej, aż do
3 razy 2 razy 1.
Szybki przykład:
Zobaczmy 5 silnia.
5 razy 4 razy 3 razy 2 razy 1
Liczymy
Równa się 120.
OK.
Pytanie jakie nam zadano to ile to 0 silnia
Sposób w jaki to można rozwiązać-- Jeden ze sposobów,
To uzupełnienie wzoru.
Uzupełnijmy wzór.
Ten wzór to w tym przypadku 4 silnia jest równe
5 silnia dzielone przez 5
Widzicie, jeśli wezmę 5 silnia i podzielę przez 5
to znaczy, że skracam 5
zostawiając 4 silnia.
Więc 5 silnia dzielone przez 5,
lub 120 dzielone przez 5, to 24.
To 4 silnia.
3 silnia to 4 silnia dzielone przez 4
To 24 dzielone przez 4.
Czyli 6.
To rozwiązanie dla 3 silnia.
2 silnia to 3 silnia dzielone przez 3.
Czyli 6, które przed chwilą policzyliśmy dzielone przez 3 wynosi 2.
1 silnia.
Znowu
To 2 silnia dzielone przez 2.
2 silnia to 2, podzielić przez 2
2 podzielić przez 2
To 1.
I teraz zaczyna być emocjonująco.
Czujecie to napięcie?
Więc 0 silnia.
Teraz uzupełnimy wzór.
0 silnia to 1 silnia dzielone przez 1.
1 silnia to 1.
Więc 1 dzielone przez 1. Wynik to 1.
Więc 0 silnia równa się 1.
Uzupełniliśmy wzór.
BRADY HARAN: Kto powiedział, że wzór musi być uzupełniony?
Skąd taka zasada?
JAMES GRIME: Właściwie to niekoniecznie musi być wzór
który daje się uzupełnić.
Chociaż w tym wypadku się da.
Spróbuję wytłumaczyć to inaczej.
BRADY HARAN: Wróćmy jeszcze do wzoru.
Czy to znaczy, że minus 1 silnia będzie następne
w kolejności?
JAMES GRIME: Zobaczmy co się stanie.
Nie jestem pewny co z tego wyjdzie.
Spróbujmy.
Minus 1 silnia.
Co dostanę?
0 silnia dzielone przez 0.
1 dzielone przez 0.
BRADY HARAN: Och, dzielone przez 0.
JAMES GRIME: Popsułeś matematykę, Brady.
Przestań.
Inne wytłumaczenie czym jest 0 silnia.
N silnia to liczba sposobów
w jakich można ustawić n obiektów.
Pokaże Ci co mam na myśli.
Weźmy jakieś przedmioty.
Wezmę portflel.
I parę monet.
Widzisz?
Kto powiedział, że matematycy nie zarabiają mnóstwa pieniędzy?
Całe 50 pensów.
Weźmy srebrną i pięcopensówkę.
3 przedmioty, na ile sposobów można ustawić
3 przedmioty?
Jest 6 możliwości.
To 3 silnia.
Sprawdźmy.
Pierwszy, drugi, albo tak,
to trzeci. Ten czwarty.
Lub możemy..
Chyba tego nie mieliśmy z przodu.
Więc to będzie piąty i szósty sposób.
Jeśli jedną zabierzemy mamy dwa przedmioty.
W jaki sposób można ułożyć 2 przedmioty?
Pierwszy, drugi.
Zabierzmy jeszcze jedną.
Na ile sposobów można ułożyć 1 przedmiot?
Tak jak tutaj.
Jest jedna możliwość.
Jeden sposób żeby ułożyć jeden przedmiot.
Teraz zabierzmy ostatnią monetę.
W tym miejscu będzie trochę filozoficznie.
Mamy 0 przedmiotów.
Na ile sposobów można ułożyć 0 przedmiotów?
Jest jeden sposób.
O tak.
Chcesz, żeby zrobił to jeszcze raz?
Proszę.
Trochę filozoficzne, ale mówimy że jest jeden sposób
żeby ułożyć 0 przedmiotów.
Znowu, wzór działa.
0 silnia równa się 1.
Podążmy za ideą odrobinę dalej.
Mówimy o silni, spróbujmy ją narysować.
Powiedzmy, że mamy jeden, dwa, trzy, cztery, pięć.
1 silnia to 1, więc dajmy tu 1.
2 silnia to 2, gdzieś tutaj.
3 silnia to 6.
Nie wiem.
Gdzieś tutaj.
4 silnia to 24, więc to będzie gdzieś
wysoko tutaj.
I 5 silnia, całkiem wysoko.
Jesli połączymy te punkty, powiedzieliśmy też, że 0 silnia
to 1, więc umieszczę na wykresie.
Więc w teorii, powinniśmy być w stanie policzyć wartości
pomiędzy, powiedzmy, 1 i 1/2
1 i 1/2 silnia
Ile to jest 1 i 1/2 silnia?
Matematycy właśnie to zrobili.
Uogólnili koncepcję.
Istnieje koncepcja 1 i 1/2 silnia.
Nazywamy ją gammą.
To grecka litera gamma.
Nazywamy to gamma od
A zapisujemy--
Właściwie teraz będzie trochę bardziej wyrafinowanie.
Mówimy, że gamma od n jest równe
całce od 0 do nieskończoności--
Wybierzmy coś,
t do potęgi n minus 1 razy e do potęgi
minus n dn.
Niektórzy nie mieli z tym styczności.
Niektórzy z was mieli z tym styczność,
niektórzy nie.
To bardziej skomplikowana matematyczna idea,
ale zgadza się z silnią.
Ale daje też wartości pomiędzy.
Tworzy tę linię.
Jest coś co muszę powiedzieć.
To dość nieoczekiwane, ale jeśli weźmiemy wartość dla liczby naturalnej
gamma od n, gdy n to liczba naturalna, to daje nam
n minus 1 silnia, więc trzeba uważać.
Tu można się potknąć.
Trochę uciążliwe.
Więc po co nam funkcja, która daje
silnię dla liczb pomiędzy naturalnymi, jeśli nie da się
ustawić 1 i 1/2 przedmiotu?
To uogólnienie i okazuje się dość przydatne
w wielu przypadkach.
Szczególnie mam na myśli prawdopodbieństwo.
Można tego użyć do znajdowania prawdopodobieństwa
kiedy myślimy o czasię ciagłym, zamiast
o ustawiania przedmiotów z dyskretnym prawdopodobieństwem.
Teraz myślimy o zdarzeniach ciągłych.
Czas to najlepszy przykład.
Wtedy zaczyna się uogólnianie idei i stąd
potrzeba uogólnionej silnii.
BRADY HARAN: 9, 6, i 3.
20.
44.