Tip:
Highlight text to annotate it
X
Mamy uprościć pierwiastek sześcienny z 27a²
razy „b” do potęgi 5 razy „c” do potęgi 3.
Chcąc uprościć taki pierwiastek sześcienny,
szukajmy w pierwiastkowanym wyrażeniu sześcianów;
czynników równych czemuś do potęgi 3.
Wtedy będziemy mogli wyciągnąć je spod znaku pierwiastka,
i zostanie to, co sześcianem nie jest. Zobaczmy, co da się zrobić.
Najpierw 27. Może już widzicie, że to sześcian.
Jeśli nie, to rozłóżcie 27 na czynniki pierwsze.
27 równa się 3 razy 9,
a 9 równa się 3 razy 3.
Czyli 27 to 3 razy 3 razy 3,
a to jest dokładnie to samo, co 3³.
Przekształćmy to wszystko.
Podzielmy wyrażenie na sześciany i niesześciany.
27 możemy przedstawić w postaci 3³.
Potem mamy „a” do kwadratu.
To nie sześcian; a³ by nim było.
Zapiszę to tutaj.
Zmienię kolejność. Z czynnikami tak można.
Zatem zapisuję a² tutaj.
Teraz b⁵.
b⁵ samo w sobie nie jest sześcianem,
ale można je przedstawić jako iloczyn sześcianu i czegoś innego:
b⁵ to dokładnie to samo, co b³ razy b².
Rozpisać? Proszę bardzo: b⁵ równa się „b · b · b · b · b”.
Pierwsze trzy „b” to po prostu b³
i zostało jeszcze b².
Możemy więc zapisać b⁵ jako iloczyn sześcianu…
zapisuję b³. Tym samym fioletem.
Zatem tutaj mamy „b” do potęgi 3,
ale to jest b³ razy b², więc tu piszę „b” kwadrat.
Teraz trzeba wszystko pomnożyć.
I w końcu… mamy… Teraz na niebiesko.
…mamy c³. To oczywiście jest sześcian.
To „c” do sześcianu. Do potęgi 3.
Zapiszę tutaj. „c” do sześcianu.
Oczywiście wciąż mamy *** wszystkim znak pierwiastka.
Próbujemy wyciągnąć pierwiastek sześcienny z tego wszystkiego.
Z własności potęgowania i pierwiastkowania wiemy,
że to jest to samo… że pierwiastek z całości jest równy
pierwiastkom z czynników pomnożonych później.
To jest to samo co pierwiastek sześcienny…
Mogę rozdzielić wszystkie albo jeden pierwiastek z 3³ b³ c³…
Zróbmy tak i tak. Najpierw oddzielnie.
To się równa: pierwiastek sześcienny z 3³
razy pierwiastek sześcienny…
Wprowadzę różne kolory, żeby się nie myliło.
razy ∛b³… razy…
razy pierwiastek sześcienny…
z „c” do sześcianu…
„c” do sześcianu, razy pierwiastek…
Jednak połączę te dwa, bo nie da się ich uprościć.
…razy pierwiastek sześcienny z „a” kwadrat razy „b” kwadrat.
Te same kolory, żeby było jasne.
a² razy b².
Mógłbym napisać, że to ∛(a²) razy ∛(b²),
ale to niczego nie uprości, więc zostawiam.
Spójrzmy na to oddzielnie.
Pierwiastek sześcienny z 3³, czyli z 27,
wynosi oczywiście… Napiszę to na żółto.
To oczywiście będzie 3.
3³ to po prostu 3³! Czyli 27.
A tutaj… pierwiastek sześcienny z b³,
to po prostu „b”. Po prostu „b”.
A pierwiastek sześcienny z c³
to po prostu… Kolor.
To jest po prostu „c”.
Całe wyrażenie uprościło się do:
3… razy „b”… razy „c”…
razy „c”… razy pierwiastek sześcienny…
razy pierwiastek sześcienny z a²b².
Razy pierwiastek sześcienny z a²…
z „a” kwadrat razy „b“ kwadrat.
I gotowe. Zrobię coś jeszcze – tak, jak zapowiadałem.
Możemy to uprościć tak, albo zauważyć,
że to wyrażenie tutaj
można zapisać jako
3 razy „b” razy „c”
do potęgi trzeciej.
Jeśli mnożę 3 czynniki z tą samą potęgą,
to mogę najpierw mnożyć, a potem potęgować.
To własność potęgowania.
Możemy to zapisać jako pierwiastek sześcienny
z tego wszystkiego
razy pierwiastek sześcienny
razy pierwiastek sześcienny z a²b².
Pierwiastek sześcienny z (3bc)³
to będzie po prostu 3bc.
I mnożymy to przez pierwiastek sześcienny a²b².
Nie używałem różnych kolorów,
bo już mamy rozwiązanie, ale chyba rozumiecie.
Mogliśmy to zrobić tak albo tak.
Ważne, że uzyskaliśmy ten sam wynik.