Tip:
Highlight text to annotate it
X
Co chcę zrobić w tym filmie to
znaleźć tę część pierwszej ćwiartki
o tutaj, czyli pod wykresem y
równym pierwiastkowi kwadratowemu z x, ale ponad wykresem y
równym x do kwadratu.
Czyli mówimy dokładnie o tym obszarze.
I wiemy gdzie są dwa punty krańcowe.
Punkty krańcowe są tam, gdzie te dwie funkcje są sobie równe.
Czyli x do kwadratu jest równy pierwiastek
z x dla x równego 0 i dla x równego 1.
Więc jak o tym myśleć?
Jeden sposób to zastanowić się
dla jakich y, y jest równy pierwiastek z x
na osi Ox?
Czyli idziemy od 0 do 1,
czyli to jest pole funkcji pierwiastek z x od 0 do 1 dx.
Czyli liczymy pole całego tego obszaru, o tutaj,
aż do punktu granicznego.
A później od tego odejmiemy ten obszar,
czyli pole pod y równym x do kwadratu,
ale *** osią Ox.
Czyli od tego odejmujemy od 0 do 1.
O ten przedział nam chodzi.
Pod całką x kwadrat dx.
I to byłoby zupełnie legalne.
Ale moglibyście stwierdzić, hej, spójrz, te same granice
całkowania, dx jest tu i tu.
Czy nie mógłbym tego także zapisać jako całkę oznaczoną
od 0 do 1 z pierwiastek z x minus x kwadrat?
I gdybyście się o to zapytali, stwierdziłbym, że jak najbardziej tak.
I to jest faktyczni inny sposób na obliczenie tego.
Bierzemy ten rejon.
I zamiast, jeśli jako dx rozumiemy jako
szerokość każdego prostokąta
a wysokość prostokąta to nie jest tylko
funkcja między osią Ox i samą funkcją.
Wysokość to różnica między dwoma funkcjami.
Czyli w tym przypadku, to byłaby szerokość prostokąta,
i wówczas szerokością byłaby różnica między dwoma
funkcjami.
I wtedy mielibyście kolejny prostokąt tutaj.
One wszystkie mają szerokość dx, a wysokość to
różnica między funkcjami.
I kiedy w limicie bierzecie je superwąskie ,
te prosrokąty stają się węższe, węższe i węższe,
i macie ich więcej, więcej i więcej,
wówczas w zasadzie aproksymujecie to pole.
Tak więc to jeden sposób na określenie tego.
Inaczej, przy użyciu tego, co wcześniej,
pola pod krzywą pierwiastka z x.
Odejmując od tego pole pod krzywą x do kwadratu.
To są całkowicie legalne sposoby na otrzymanie tego.
Ale teraz obliczmy to.
Więc jaka jest funkcja pierwotna?
Z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego
możemy powiedzieć, że to po prostu będzie
funkcja pierwotna pierwiastka z x.
Tak więc, pierwiastek z x jest tym samym,
co x do potęgi 1/2, więc zwiększamy potęgę.
Czyli bierzemy x do potęgi 3/2, a potem dzielimy przez 3/2,
a to to samo co mnożenie przez 2/3.
A my chcemy to obliczyć od 0 do 1.
Od tego odejmujemy funkcję pierwotną x do kwadratu,
czyli x do trzeciej przez 3.
I także obliczamy to od 0 do 1.
Tak więc to pierwsze wyrażenie, jeśli policzymy je w punkcie 1.
2/3 razy 1 i 3/2.
A to będzie 2/3.
A od tego teraz odejmiemy
to obliczone w 0, czyli 0.
Czyli otrzymaliśmy 2/3.
A teraz odejmiemy to obliczone
w 1, czyli minus 1/3.
I także to odejmiemy tę rzecz.
Czyli, chcąc wyrażać się jasno,
odejmiemy to obliczone w 1, a od tego
to obliczone w 0, czyli po prostu 0.
Ale wszystko upraszcza się do po prostu odjęcia 1/3.
I oto mamy.
Otrzymujemy odpowiedź.
2/3 minus 1/3 jest równe 1/3.
To jest ten oto obszar.
Jakiejkolwiek jednostki używamy, to jest 1/3 jednostki kwadratowej obszaru.