Tip:
Highlight text to annotate it
X
...
Załóżmy, że mamy zbiór wektorów. Nie chę żeby
ta linia była taka gruba.
Powiedzmy, że jeden z tych wektorów to wektor [2,3]
i następtny wektor to [4,6]
I chciałbym odpowiedzieć na pytanie. Jaki jest podprzestrzeń rozpięta
na tych wektorach?
I przyjąć, że to wektory oznaczają współrzędne.
Jakie są wszystkie wektory, jakie te
dwa wektory mogą reprezentować?
Więc, jeśli spojrzycie na nie i przypomnicie sobie, że ta podprzestrzeń to
wszyskie wektory, które mogą być reprezentowane przez liniową
kobinację tych wektorów.
Więc, to jest zbiór wszystkich wektorów takich że będziemy mieli
stałą razy ten wektor plus jakąś inną
stałą razy ten wektor, to są wszystkie możliwości
jakie te wektory mogą reprezentować, wystarczy tylko podstawić
liczby rzeczywiste za c1 i c2.
Pierwszą rzeczą, którą możecie zauważyć jest to, że drugi
wektor jest taki sam jak
pierwszy razy 2.
Więc mogę to przepisać tak.
Mogę to przepisać tak: c1 razy wektor [2,3] plus c2
razy wektor i tutaj, zamiast wpisywać wektor
[4,6], wpiszę 2 razy wektor [2,3], ponieważ
ten wektor to poprostu wielokrotność tego wektora.
Więc mogę napisać c2 razy 2 razy [2,3].
Myślę, że widzicie to że jest to równoważne z [4,6]
2 razy 2 jest 4
2 razy 3 jest 6
Zatem możemy to trochę uprościć.
Możemy to przepisać jako c2 plus 2 razy c2. i to wszytko razy
nasz wektor [2,3]
i to może być tylko jedna stała.
Jest to jedna dowolna liczba plus 2 razy druga
dowolna liczba
Więc możemy po prostu napisać c3 razy wektor [2,3]
W tej sytuacji, nawet jeśli zaczynaliśmy z dwoma
wektorami, i powiedziałem, ze, jak wiecie podprzestrzeń na tych 2
wektorach jest równa zbiorowi wszystkich wektorów które mogą
być zkonstruowane z kombinacji liniowej tych wektrorów, jakakowiek
liniowa kombinacja tych wektorów, jeśli użyjemy tego
podstawienia, może być zredukowana do skalara
razy mój pierwszy wektor.
Mogłem pójść inną drogą.
Mogłem podstawić za ten wektor, 1/2 razy
ten wektor i otrzymać jakąkolwiek kombinację skalara razy
drugi wektor.
W rzeczywistości zamiast mówić o liniowej
kombinacji 2 wektrorów, mogę to zredukować do tylko
skalarnej kombinacji jednego wektora.
I widzimy w r2 skalarna kombinacja tego wektora
wszczególności, jeżeli to są pozycje.
Na przykład wektor [2,3]
To jest 2, 3.
Wygląda tak.
Wszyskie skalarne kombinacje tego wektora będą
leżały na tej prostej.
Więc [2,3] będzie dokładnie tutaj.
Wszyskie będą leżały wzdłuż tej linie, dokłanie tu.
wzdłuż tej lini w obu kierunkach do nieskończoności.
I jeśli wezmę ujemne wartości 2,3, będę
szedł tutaj w dół.
Jeżeli będę brał dodatnie wartości, będę szedł tędy
Jeśli wezmę naprawdę wielkie dodatnie wartości, to
będzie szlo w górę tutaj.
Ale mogę tylko reprezetować wektory, i kiedy umieścicie je
w formie standardowej, ich strzałki będą
podążały za tą linią.
Wię możecie powiedzieć, jaka jest podprzestrzeń rozpiętan na moich wektorach, niech
ją narysuję tutaj.
...
Podprzestrzeń na wektrach [2,3] i [4,6] jest
tylko tą prostą tutaj.
Mimo, że mamy 2 wektory
są one istonie współliniowe.
Są swoimi wielokrotnościami.
To znaczy, jeśli to jest [2,3], [4,6] jest dokładnie tutaj.
To jest tylko, o jedną długość dłuższy.
Są one współliniowe.
Te dwie rzeczy są współliniowe.
...
Teraz, w tym przypadku, kiedy mamy 2 współliniowe wektory w
R2, ich podprzestrzeń redukuje się tylko do tej prostej
Nie możecie reprezentować niektórych wektorów tak
użyję nowego koloru.
Nie możecie reprezentować tego wektoru, pewną
kombinacją liniową tych dwóch wektorów.
Nie ma możliwości wyjścia się poza tą linię.
Tak, więc nie ma możliwości reprezentowania każdego wektroru w R2
Więc ta podprzestrzeń to tylko ta linia.
Więc, idea jest taka, że jak zauważyliście, macie 2
wektory, ale redukują się do jednego wektora kiedy
bierzecie ich liniową kombinację.
Idea jest taka, że taki zbiór nazywamy
liniowo zależnym.
Napiszę to: liniowo zależny.
Ten zbiór jest liniowo zależny.
Liniowa zależność oznacza tylko że jeden z wektorów
w zbiorze może być reprezentowany przez pewną liniową kombinację
reszty wektorów w zbiorze.
Można to sobie wyobrazić tak, jakikolwiek nie weźmiemy wektor
może być reprezntowany przez pozostałe, nie dodając żadnego
nowego kierunku ani nowej informacji, tak?
W tym przypadku, my właśnie mieliśmy wektor który biegł
w tym kierunku, i kiedy wzięliśmy [4,6] na płaszczyzną
miał ten sam kierunek tylko był przeskalowany.
Wię nie dawał nam żadnego nowego wymiaru, powalającego nam wię wyrwać
z tej linii, tak?
Możecie sobie wyobrazić na trzeci spodób. Jeżeli macie jeden wektor
który wygląda jak to, i drugi wektor który wygląda
tak, te wektory nie są współliniowe, one definiują
pewien rodzaj dwuwymiarowej przestrzeni.
One mogą definiować dwuwymiarową przestrzeń.
Mówimy, że ta płaszczyzna jest zdefiniowana
przez te dwa wektory
Następnie, aby zdefiniować R3, trzeci wektor w tym zbiorze
nie może być współpłaszczyznowy, z tymi dwoma, tak?
Jeżeli ten trzeci wektor jest współpłaszczyznowy z tymi, to
ten wektor nie dodaje żadnego nowego kierunku.
Więc ten zbiór 3 wektorów
też będzie liniowo zależny.
I inna możliwość aby to sobie wyobrazić. Te dwa fioletowe
wektory, rozpinają tą płaszczyną, rozpinają płaszczynę którą definiują
tak?
Wszystko na tej płaszczyźnie w jakimkolwiek kierunku może, każdy wektor
na tej płaszczyźnie, kiedy mówimy że rozpina ją , to znaczy tt
że każdy wektor może być reprezentowany przez liniową kombinację
tego wektora i tego wektora, co znaczy że jeśli ten wektor
jest na tej płaszczyźnie, może być reprezetnowany przez liniową
kombinację tego wektora i tego wektora.
Więc ten zielony wektor, który dodałem, nie doda niczego
do podprzestrzeni z naszego zbioru wektorów, i dlatego to jest
liniowo zależny zbiór
Ten może być reprezentowany przez sumę tego i tego,
ponieważ ten i ten rozpinają tę płaszczyznę.
Zatem dla podprzestrzeni z tych trzech wektorów aby dodać
więcej wymiarów albo zacząć reprezeprezentować R3
trzeci wektor musi być z poza tej płaszczyzny.
Musi wyłamać się z niej.
I jeśli ten wektor nie lezy na tej płaszczyźnie, to oznacza
że jest to wektor który nie może być rezprezentowany na tej płaszczyźnie
czyli jest z poza podpprzestrzeni tych 2 wektorów.
Jest on na zewnątrz i nie może być reprezentowany przez liniową
kombinację tego i tego wektora.
Więc jeśli macie wektory ten, ten i ten
and tylko te trzy, żaden z tych które
narysowałem, nie będzie liniowo niezależny.
Narysuję, jeszcze parę przykładów dla was.
Ten może być trochę zbyt abstrakcyjny.
Na przykład jeśli mamy wektor [2,3] i mamy
wektro [7,2] i mamy jeszcze wektor [9,5] i zadaję pytanie
są one liniowo zależne czy niezależne?
Więc, tak jak na początku powiedziedzieliście, to nie jest trywialne
Zobaczcie, to nie jest skalarna wielokrotność tego.
To nie wygląda na skalarną wielokrotność żadnego
z pozostałych dwóch.
Może są one liniowo niezależne.
Ale jeśli przyjrzysz im się dokładniej to zobaczysz
że v, jeśli nawiemy to v1, wektor 1 plus wektor 2, jeśli nazwiemy
to wektor 2 jest równy wektorowi 3.
Więc wektor 3 jest liniową kombinacją
tych dwóch wektorów.
Zatem jest to liniowo zależny zbiór.
I aby to pokazać narysujemy to na płaszczyźnie,
Idea jest taka, zobaczcie
Narysujemy to w R2
To jest ogólna własność, że jeśli macie trzy dwuwymiarowe
wektory, jeden z nich będzie zbędny.
Dobrze, jeden z nich na pewno będzie zbędny.
Na przykład mamy [2,3], mamy [2,3]
on jest dokładnie tutaj.
Narysuję to w standardowym układzie.
I narysuję wektor [7,2] tutaj, mogę wam pokazać,
że każdy punkt w R2 może być reprezentowany przez
kombinację tych dwóch wektorów.
Możemy nawet pokazać graficzną interpretację.
Zrobiłem to w poprzednim wideo, więc mogę napisać, ze
podprzestrzeń z wektorów v1 i v2 jest równa R2.
To oznacza, że każdy wektor, każda pozycja może być
reprezetnowana przez pewną kombinację tych dwóch wektorów.
Wektro [9,5] jest w R2.
Jest w R2, tak?
Dokładnie.
Właśnie to narysowałem na płaszczyźnie.
To jest nasza dwuwymiarowa, rzeczywista płaszczyzna.
Lub jak myślę, możemy to nazwać przestrzenią lub naszym zbiorem R2/
Jest tutaj.
Jest dokładnie tutaj.
Więc właśnie powiedzieliśmy że cokolwiek w R2 może być reprezentowane przez
liniową kombinację tych wektorów.
Jasne, ten wektror jest w R2, więc może być reprezentowany przez
liniąwą kombinację.
Mam nadzieję, że zaczynacie dostrzegać zależność
pomiędzy podprzestrzenią i liniową niezależnością lub
liniową zależnością.
Zobaczcie kolejny przykład.
Powiedzmy, że mamy wektory, użyję nowego koloru.
Powiedzmy, ze mamy wektory, ten będzie trochę
oczywisty [7,0], to jest mój v1 i wtedy to jest mój
drugi wektor [0,-1]
To jest v2.
Czy one tworzą zbiór liniowo niezależny?
Czy są liniowo niezależne?
Więc, czy mogę reprezentować jeden jako
kombinacja drugiego?
I tak naprawdę kiedy mówię kombinacja, musicie
przeskalować jeden aby otrzymać drugi, poniważ są tylko
2 wektory w zbiorze.
Jeśli spróbuję dodać coś do tego wektore, jedyną rzeczą
którą mogę zrobić z tym jest to, więc wszystko co mogę
zrobić to przeskalować.
Dobrze, nic nie mogę zrobić.
Nie ma znaczenia, przemnożenie tego wektora przez
jakąś stałą i dodanie go do się albo przeskalowanie, ten wymiar
tutaj będzie zawsze równy 0.
Zawsze będzie równy 0.
Więc nie istnieje taka stała, przez którą muszę przemnożyć ten wektor
aby otrzymać ten wektor.
Podobnie, nie ma znaczenia, przez co przemnożę ten wektro
górna wartość zawsze będzie 0.
Więc nie ma możliwości otrzymania tego wektora.
Więc oba te wektory, nie ma mozliwości
reprezentowania jednego przez kobinajcę drugiego.
Zatem są one liniowo niezależne.
I możecie to zobaczyć, jeśli to narysujemy.
Ten jest [7,0] który jest taki/
Użyję do tego nie żółtego koloru.
...
[7,0]
I ten jest [0, -1]
I myślę, ze łatwo zauważycie że jesli weźmiemy liniową kombinację
jakichkolwiek tych wektorów, możesz reprezentować
wszystko w R2.
Więc podrzestrzeń ich, używając naszego pojęcia przestrzni
v1 i v2 jest równa R2.
Teraz, jeszcze jeden interesujący punkt do zrobienia.
Powiedziałem, że podprzestrzeń v1 i v2 jest równa R2
Teraz jaka jest przestrzeń rozpięta na v1, v2 i v3 w
tym przykładzie tutaj?
Właśnie wam powiedziałem.
Właśnie pokazalem wam jak ten trzeci wektor może być
reprezentowany jako liniowa kombinacja tych dwóch.
To jest po prostu suma tych dwóch.
I mogę to nawet narysować.
To jest po prostu suma tych dwóch wektorów.
Więc to jest jasne, że może być reprezentowany przez liniową
kombinację tych dwóch.
Więc, jaka jest ta przestrzeń?
Więc, w rzeczywistości ten wektror jest zbędny, to znaczy, że
on nie zmienia tej przestrzeni.
On nie zmienia żadnej z możliwości liniowej kombinacji.
Więc ta przestrzeń będzie równa R2.
To jest nawet więcej niż potrzebujesz aby
rozpiąć przestrzeń R2.
R2 jest 2 wymiarową przestrzenią, więc potrzeba 2 wektorów.
To był rodzaj na bardziej efektywne wyznaczanie
bazy. Nie zdefiniowałem bazy formalnie jeszcze, ale
chciałem to opowiedzieć słownie i wtedy
gdy nabierze to dla was sensu, zdefiniuję to formalnie.
To prowadzi do lepszych baz, zdefiniowanych jako
nie redundantny zbiór wektorów który może reprezentować R2.
Podczas gdy ta, właśnie ta jest zawiera nadmiarowy element.
Dlatego to nie jest dobra baza dla R2.
Pokażę wam przykład w 3 wymiarach.
W następnym wideo, zdefiniuję
bardziej formalną definicję liniowej zależności i niezależności.
Załóżmy że mamy wektor [2,0,0].
Zróbmy podobnie, jak zrobiliśmy wcześniej.
wektor [2,0,0] wektro [0,1,0] i wektor [0,0,7]
...
Jesteśmy teraz w R3, tak?
Każdy z nich, jest 3 wymiarowym wektorem.
Są one liniowo zależne czy liniowo
niezależne?
Przepraszam, czy one są liniowo zależne czy niezależne?
Dobrze, nie ma takiej kombinacji liniowej tych dwóch
wektrorów, która może mieć nie zerową wartość w tym wymiarze.
aby stworzyć trzeci wektror, tak?
Ponieważ nie znaczenia przez co przemnożysz ten wektor i ten
wektor, ostatni wymiar zawsze będzie zero.
Więc to jest rodzaj dodania nowego kierunku
do naszego zbioru wektorów.
Podobnie, nie można nic zrobić, nie ma takiej
kombinacji liniowej tych dwóch wektorów, aby otrzymać
niezerową wartość tutaj.
I ostatecznie, nie ma kombinacji tego wektoru i tego wektroru, taką że
otrzymamy niezerową wartość tutaj.
Zatem te wektory są liniowo niezależne.
...
I jeśli narysujecie te wektory w 3 wymiarach to
zobaczycie że żaden z nich, z nich trzech
nie leżą na tej samej płaszczyźnie.
Oczywiście, każde 2 leżą na tej samej płaszczyźnie, ale jeśli
aktualnie rysujemy to, otrzymamy [2,0]
Nazwijmy to osią X.
to jest [2,0,0].
Teraz macie to [0,1,0].
To może być oś y.
I na koniec macie [0,0,7]
To wygląda mniej więcej tak.
I teraz to prawie wygląda jak nasze 3 wymiarowe osie
to wygląda prawie jak wektory i, j, k.
Tylko trochę przeskalowane.
Ale zawsze możne je poprawić przez zmiejszanie ich
tak?
Ponieważ ważna dla nas jest ich liniowa kombinacja.
Więc podprzestrzeń rozpięta na tych trzech wektorach, jest własnei tutaj ponieważ
dodają nową kierunkowość, to jest R3.
...
I na tym zakończę swoje wideo.
Zdaję sobię sprawę z tego że robię coraz dłuższe i dłuższe widea i
chcę wrócić do przyzwyczajeń robienia krótszych.
W następnym wideo, zrobię bardziej formalną definicję
liniowej zależności i pokażę
jeszcze więcej przykładów.
...