Tip:
Highlight text to annotate it
X
W poprzednim filmie zobaczyliśmy, że jeśli mamy daną linię, którą zdefiniowaliśmy
jako wszystkie iloczyny powstałe z przemnożenia przez skalar pewnego ustalonego wektora -
Napiszę to po prostu tak.
Skalarne czynniki to, oczywiście,
dowolne liczby rzeczywiste.
Zdefiniowaliśmy przekształcenie. Nie mówiłem o tym za dużo,
ale to właśnie jest przekształcenie.
Zdefiniowaliśmy rzutowanie na tę linię L
jako przekształcenie.
W filmie określiliśmy je jako przekształcenie z R^2 w R^2,
ale może być, w ogólności, przekształceniem z R^n w R^n
Zdefiniowaliśmy rzutowanie x na L tak, że było
równoważne iloczynowi skalarnemu x z wektorem definiującym linię.
Iloczyn skalarny x z wektorem definiującym, podzielony przez ten
wektor przemnożony skalarnie ze sobą.
To wszystko razy wektor definiujący prostą.
To była nasza definicja.
Wiele rzeczy mogło się pojawić od czasu, kiedy
po raz pierwszy to widzieliśmy.
Kiedy mnożymy skalarnie wektor z samym sobą, czemu to jest równe?
Wiemy, że wektor przemnożony skalarnie z samym sobą,
jest długością wektora
podniesioną do kwadratu.
Możemy zapisać to jako równe iloczynowi skalarnemu x i v,
podzielonemu przez kwadrat długości v i to wszystko jeszcze razy v.
Czyż nie byłoby świetnie, jeśli długość wektora v byłaby równa 1?
Długość wektora v byłaby równa 1.
Jeżeli długość v wynosiłaby 1, albo mówiąc w inny sposób
v byłby wektorem jednostkowym [wersorem],
Nasz wzór dla rzutowania uprościłby się
do iloczynu skalarnego x z v.
To wszystko (to będzie po prostu pewien skalar)
to razy v.
Powiecie, hej Sal, skąd mamy wiedzieć czy jest to
wektor jednostkowy czy nie.?
Możecie odnotować, że... - niech narysuję to w ten sposób.
Kiedy rysowałem to w poprzednim filmie, po prostu wybrałem
linię, jak tę.
Linia może być tak naprawdę zdefiniowana przez wektor v, w kierunku zgodnym z linią.
To może być dowolny z wektorów zawartych w tej linii.
Wektor v może być taki jak ten.
Powiedzmy, że mamy dany wektor v,
który nie jest wektorem jednostkowym.
Powiedzmy, że długość v nie jest równa 1.
Jak możecie zdefiniować linię za pomocą wektora jednostkowego [kiedy go nie macie]?
Możecie po prostu unormować v.
Możecie zdefiniować pewien wektor jednostkowy tutaj.
Możecie zdefiniować wektor jednostkowy tutaj.
Nazwijmy go u i powiedzmy, że jest to wektor jednostkowy i
jest równy 1 przez długość v razy v.
Pokazałem to wam w filmie o wektorach jednostkowych.
Możecie skonstruować wektor jednostkowy, o kierunku zgodnym
z dowolnym wybranym wektorem, w istocie tylko przez podzielenie,
albo powiedzmy przez pomnożenie tego wektora
przez odwrotność jego długości.
W ogólności możemy zawsze, przedefiniować linię.
Wszystkie możliwe skalarne mnożniki v pozostaną
tym samym co skalarne mnożniki naszego
wektora jednostkowego u, który jest tak naprawdę wektorem v przemnożonym przez skalar
Możemy przedefiniować naszą linię.
Przedefiniujemy naszą linię L, jako równoważną wszystkim
możliwym iloczynom naszego wektora u ze skalarami, gdzie
skalary są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.
Wtedy nasza definicja rzutowania trochę się upraszcza.
Rzutowanie x na L staje się iloczynem skalarnym x z naszym wektorem jednostkowym
razy wektor jednostkowy, razy ten sam wektor jednostkowy.
Przypadek, który rozpatrzyłem w poprzednim filmie, gdzie
miałem te dwa wektory.
Gdzie powiedziałem, że wektor v definiujący linię - myślę,
że to był wektor 2,1.
Nasz wektor x był równy 2,3
Jeżeli chcemy użyć tej definicji musimy po prostu
zamienić najpierw tego kolesia w wektor jednostkowy.
Podczas zamieniania go w wektor jednostkowy, wyliczacie
jego wielkość [długość].
Czemu tym przypadku będzie równa długość v?
2 do kwadratu dodać 1 do kwadratu (to jest 1).
Bierzecie z tego pierwiastek kwadratowy.
Niech to napiszę.
To jest równe pierwiastkowi kwadratowemu z 2 podniesione do kwadratu dodać 1 podniesione do kwadratu, co jest
równe pierwiastkowi z 5
Możecie zdefiniować wasze u - wasz wektor jednostkowy może być po prostu
odwrotnością tego, razy ten koleś.
1 przez pierwiastek z 5 razy 2,1
Możecie to wymnożyć albo i nie.
Możecie pozostawić to w tej postaci.
Możecie zawsze, dla każdego wektora v, możecie zawsze znaleźć jednostkowy wektor
o tym samym kierunku, zakładając że mamy
do czynienia z niezerowymi wektorami.
Możecie zawsze uprościć coś takiego jak to do innej
definicji, jak tej.
Gdzie to jest jednostkowy wektor
powstały z wektora v tutaj.
Jak wcześniej powiedziałem, spójrzcie, to jest
przekształcenie z R^n w R^n
Jedna rzecz, której nie jesteśmy jeszcze pewni to czy jest to
przekształcenie liniowe.
Zawsze możemy to napisać w ten sposób.
Zobaczmy czy to zawsze będzie
przekształcenie liniowe.
Są dwa warunki które musi ono spełniać, żeby być przekształceniem liniowym.
Zobaczmy co się stanie jeśli wezmę rzuty na L
z dwóch wektorów.
Powiedzmy, że biorę wektor a plus wektor b.
Weźmy sumę tych wektorów.
Jeśli to jest przekształcenie liniowe to powinno być
równoważne rzutowaniu każdego z nich
oddzielnie, a następnie zsumowaniu.
Zobaczmy czy jest tak w tym przypadku.
To jest równe, korzystając z naszej definicji,
tej z wektorem jednostkowym, ponieważ jest prostsza.
To jest równe a plus b - to nasz x, iloczyn skalarny z u
Następnie to wszystko razy nasz wektor jednostkowy.
Wiemy, że iloczyn skalarny jest addytywny
więc to jest równe iloczynowi skalarnemu a z u plus iloczyn skalarny b z u.
To są wektory jednostkowe.
To wszystko razy wektor u.
To są po prostu skalary.
Mnożenie skalarów jest addytywne (rozdzielne).
To jest równe iloczynowi skalarnemu a z u razy nasz wektor u
Pamiętajmy, to będzie po prostu skalar.
Dodać iloczyn skalarny b z u razy nasz wektor jednostkowy u.
Czemu to jest równe?
To tutaj jest jest równe rzutowi a.
To jest równe rzutowi a na L,
z tej definicji, tej tu.
Z tej definicji.
Jeżeli założymy, że mamy do czynienia z
definicją linii z wektorem jednostkowym.
To jest równe, to całe wyrażenie tutaj, jest równe
plus rzut na L wektora b.
Widzimy, że nasz pierwszy warunek liniowości
jest spełniony przez to przekształcenie.
Rzut sumy wektorów jest równy sumie
rzutów tych wektorów.
Nasz drugi warunek jest taki, że rzut wektora
przemnożonego przez skalar powinien być równy
rzutowi tego wektora przemnożonemu przez skalar.
Niech to napiszę.
Co to jest rzut na L pewnego przemnożonego skalarnie
wektora a.
To jest równe iloczynowi skalarnemu ca z naszym wektorem jednostkowym u
razy nasz wektor jednostkowy u.
To jest nieco bardziej bezpośrednie.
dlatego, że to jest mnożenie przez skalar.
Widzimy, że z właściwości iloczynu skalarnego to jest równe
c razy iloczyn skalarny a z u razy wektor u.
To jest po prostu równe c, razy
to tutaj jest rzutem a na L
Spełniliśmy oba warunki liniowości przekształcenia.
Wiemy, że nasze rzutowanie na linię L w R^n jest
przekształceniem liniowym.
To mówi nam, że możemy je przedstawić za pomocą macierzy
przekształcenia.
Co chcemy zrobić?
Wiemy, że rzutowanie x na L, już znamy tę definicję
może być przepisane.
Nie będzie bolało, jeśli to przepiszemy.
Jako x iloczyn skalarny z wektorem jednostkowym u definiującym naszą linię
Narysuję to z daszkiem, żeby pokazać,
że to wektor jednostkowy [wersor].
Przemnożony przez przez samego siebie, więc
dostajemy tak naprawdę wektor.
Jak mogę zapisać to jako iloczyn macierzy,
iloczyn macierzy i wektora?
Chcę zapisać to jako iloczyn pewnej macierzy
razy x
Żeby uprościć kilka rzeczy, skoro mamy do czynienia z macierzami
ograniczmy się do przypadku R^2
Założę, że moje rzutowanie na L będzie
będzie mapą z R^2 w R^2.
Możecie zrobić to co ja tu robię
z dowolnym wymiarem.
Jeżeli robimy to w R^2 to nasza macierz A, tutaj,
będzie macierzą 2 na 2.
Widzieliśmy na wielu filmach, że do policzenia macierzy A
bierzemy po prostu macierz identycznościową, która która ma
wektory z bazy standardowej w kolumnach.
0,1 [pomyłka]
Albo 1,0 a potem 0,1.
I stosujemy przekształcenia do każdej
z tych kolumn.
Możemy powiedzieć, że A będzie równe
jej pierwsza kolumna będzie równa rzutowi na L z
tej rzeczy tutaj.
Zrobimy to w kolorze pomarańczowym, w tym miejscu.
Czym to będzie.
To będzie iloczynem skalarnym tego z u.
Napiszę swoje u.
Mój wektor jednostkowy, załóżmy, że u może być przepisany jako
mój wektor jednostkowy jest równy pewnym u1 i u2
W ten sposób.
Potrzebuję wziąć iloczyn skalarny tego z moim wektorem jednostkowym
Niech to napiszę.
Niech napiszę to z boku.
Pierwszą rzeczą którą chcę zrobić jest policzenie tego
co jest rzutem, rzutem na L
napiszę to w ten sposób.
Wiemy, że rzutowane jest po prostu równe iloczynowi skalarnemu tego razy to razy
ten wektor.
Niech to napiszę.
Iloczyn skalarny wektora 1,0 z wektorem jednostkowym u,
który jest po prostu u1, u2.
Przemnożymy to przez mój wektor jednostkowy.
Napiszę w ten sposób.
Razy wektor u1, u2.
To będzie pierwsza kolumna w mojej
macierzy przekształcenia.
Moja druga kolumna będzie taka sama, ale
nie jestem gotowy na zrzutowanie tego kolesia.
Definicja naszego rzutowania to: iloczyn skalarny ciebie z tym kolesiem
z naszym wektorem jednostkowym.
Więc to robimy.
Bierzemy iloczyn skalarny 0,1
Iloczyn skalarny 0,1 z wektorem jednostkowym, z u1, u2
Przemnożę to przez mój jednostkowy
wektor, razy u1, u2.
To wygląda bardzo skomplikowanie, ale powinno się uprościć, kiedy
tylko spróbujemy obliczyć naszą macierz przekształcenia.
Zróbmy to.
Co dostanę z iloczynu skalarnego tych dwóch kolesi?
Napiszę to tutaj.
Moja macierz A będzie 1 razy u1 plus 0 razy u2
to po prostu u1.
To wszystko upraszcza się do u1, kiedy biorę
iloczyn skalarny tych dwóch rzeczy.
Razy u1, u2.
To będzie moja pierwsza kolumna.
Moja druga kolumna, jeśli wezmę iloczyn skalarny tych dwóch kolesi, dostanę
0 razy u1 plus 1 razy u2
Więc dostanę u2 razy mój wektor jednostkowy, u1, u2.
Jeśli to przemnożę, czemu będzie to równe?
Mogę zapisać to jako kolumny.
u1 razy u1 to u1 kwadrat
u1 razy u2 to u1u2.
u2 razy u1 to u2 razy u1.
Następnie u2 razy u2 to u2 kwadrat.
Dajcie mi dowolny wektor jednostkowy, a ja dam wam
przekształcenie które da wam dowolny rzut pewnego wektora
na linię zdefiniowaną przez ten poprzedni wektor.
To było wyjątkowo długi sposób wyjaśnienia tego problemu.
Wróćmy do tego co zrobiłem wcześniej.
Powiedzmy, że chcemy znaleźć dowolne rzutowanie na linię
na wektor, narysuję go tutaj
Będziemy robić dokładnie ten sam przykład, który zrobiliśmy w poprzednim filmie,
Jeśli mam pewien wektor v, który wygląda tak.
Powiedzmy, że wektor v będzie równy wektorowi 2,1
To był mój wektor v.
Jak możemy znaleźć pewne przekształcenie dla rzutowania
na linię zdefiniowaną przez v
Na tę linię tutaj.
Na linię zdefiniowaną przez v.
Co możemy zrobić najpierw to jest przekształcenie v w wektor jednostkowy.
Możemy przekształcić v w wektor jednostkowy
o tym samym kierunku.
Pewien wektor jednostkowy u.
Zrobiliśmy to już tutaj.
Gdzie w istocie podzieliliśmy v
przez jego długość.
Weźmy v i podzielmy go przez jego długość.
Wektor jednostkowy to to, 1 przez pierwiastek z pięciu
razy nasz wektor v.
To było 1 przez pierwiastek z 5 razy nasz
wektor v, tutaj.
Zaczynacie z wektorem jednostkowym.
Po prostu tworzycie tę macierz i będziemy mieli naszą
macierz przekształcenia.
Jeśli to jest nasze u czemu będzie równa nasza macierz?
To jest u.
Wtedy nasza macierz będzie równa u1 kwadrat
Co to u1 kwadrat?
Przepiszę to troszkę, nie pod kątem.
Nasz wektor u, nasz wektor jednostkowy który definiuje tę linię
jest równy wektorowi 2 przez pierwiastek z 5 i
1 przez pierwiastek z 5.
Po prostu przemnożyłem ten skalar.
Jeżeli chcemy utworzyć tę macierz, dostaniemy A jest równe
u1 kwadrtat
Czym jest ten kwadrat?
Staje się 2 kwadrat - 4 przez pierwiastek z 5 kwadrat
które jest po prostu 5
Równe 4 przez 5.
Co to jest u1 razy u2?
2 razy 1 przez pierwiastek z pięciu razy pierwiastek z pięciu
Więc, 2/5
Po prostu przemnożyłem te dwie rzeczy.
Co to jest u2 razy u1?
To samo.
Kolejność nie ma znaczenia kiedy mnożymy [skalary].
To też będzie 2/5.
Co to jest u2 kwadrat?
1 kwadrat przez pierwiastek z 5 kwadrat to po prostu 1/5.
Teraz możemy powiedzieć, że dzięki stworzeniu
macierzy w łatwy sposób rzutujemy wektory.
Powiedzmy, że mamy pewne... powiedzmy, że... (tutaj mamy początek), ...mamy
pewien inny wektor x, tutaj.
Możemy teraz zdefiniować nasze przekształcenie.
Rzutowanie na L gdzie L jest równe wszystkim iloczynom
skalarów z naszym wektorem jednostkowym u.
To jest tutaj.
Dla c należących do liczb rzeczywistych.
To nasza linia L.
Rzutowanie na L dowolnego wektora x jest
równe tej macierzy.
Jest równe tej macierzy 4/5, 2/5, 2/5, 1/5 razy x.
Co jest bardzo przyjemny wynikiem, przynajmniej dla mnie.
Ponieważ jeszcze raz sprowadziliśmy wszystko do
mnożenia przez macierz.
Jeśli weźmiecie ten x i przemnożycie go przez te macierz,
dostaniecie jego rzut na L,
na linię.
Jeśli weźmiecie ten wektor, powiedzmy a, i przemnożycie go przez
tę macierz tutaj dostaniecie
jego rzut.
Jego rzut na linię.
Jeśli możecie wziąć ten wektor - nie, powinien iść
przez początek
Chcę narysować go w standardowym położeniu.
Jeśli weźmiecie ten wektor, tutaj i przemnożycie go przez
tę macierz, dostaniecie ten wektor, tutaj,
który zawiera się w linii.
Jeżeli odejmiecie to od tego, to jest prostopadłe.
Znamy definicję.
To w pewnym sensie cień tego wektora.
Tak czy siak myślę, że to bardzo zgrabny sposób.