Tip:
Highlight text to annotate it
X
Więc, kilka filmików wcześniej powiedziałem wam, że cokolwiek podniesione do 0 potęgi jest równe 1.
Więc x do potęgi 0 równa się 1.
I dałem wam jeden argument na to czemu tak jest.
Użyłem przykładu, że jeśli mamy 3 do potęgi 1
to to się równa 3.
3 do potęgi 2 to się równa 9.
3 do potęgi 3 równa się 27.
Więc za każdym razem gdy zmniejszamy przez potęgę, dzielimy przez 3.
27 podzielone przez 3 daje 9
9 podzielone przez 3 daje 3.
Wtedy 3 podzielone przez 3 to 1.
I to jest właśnie 3 do potęgi 0.
To jest jeden ze sposobów rozumienia tego zagadnienia.
Inny sposób myślenia jest taki, że potrzebujemy tego do
właściwości działania potęgi.
Na przykład, powiedziałem wam, że a do b razy a do c jest
równe a do b plus c.
Teraz, co się stanie jeśli c równa się 0?
Co się stanie, jeśli będziemy mieć a do b razy a do 0?
Więc, przez tę właściwość , to musi być równe a podniesionemu do potęgi
b plus 0, co się równa a podniesionemu do b.
Więc a do b razy a do 0 musi być równe a do b.
Jeśli podzielisz obie strony tego razy a - pozwól mi przepisać
to - a do b razy a do 0, jeśli użyjemy tej właściwości
tutaj, to musi się równać a do b, prawda? b plus 0 równa się b.
Jeśli podzielisz obie strony przez a do b, co dostaniesz?
Po lewej stronie równania, zostało ci
tylko a do 0, prawda?
To się kasuje.
a do 0 równa się 1.
Możesz użyć podobnego argumentu we wszystkich
własnościach potęg, gdy potrzebujemy, żeby cokolwiek do
potęgi zerowej równało się 1.
To ma także sense kiedy dzielimy przez 3, w każdym kroku kiedy
zmniejszamy potęgę.
To wciąż działa.
Kiedy bierzesz 3 do potęgi -1, widzieliśmy na
ostatnim filmie że jest to równe 1 przez 3 do potęgi pierwszej
lub 1/3.
Więc jeszcze raz, od 3 do 0 do 1/3,
dzielisz przez 3 jeszcze raz.
Więc to naprawdę ma sens na pewnym poziomie, że 3 do
potęg zerowej równa się 1.
Jednak zostawia to pewną lukę.
Co z 0 do potęgi 0?
To jest bardzo dziwne pojęcie.
Zero pomnożone przez siebie zero razy.
To zależy jakiego kontekstu użyjesz.
Czasami ludzie powiedzieliby że jest to niezdefiniowane, ale
więcej razy, w końcu w moim doświadczeniu, to będzie
zdefiniowane jako 1.
I powód dlaczego - nawet jeśli jest to kompletnie
nieintuicyjne, możesz wpisać 0 do potęgi zerowej
w Google i to da ci 1.
Nawet jeśli jest to kompletnie nieintuicyjne, powód dla którego
jest to zdefiniowane właśnie tak jest taki, że sprawia to dużo
pracy na wzorach.
Jeden w szczególności, wzór dwumianu działa dla
współczynników dwumianu, czego nie zamierzam rozwiązywać
tutaj, kiedy 0 do potęgi zerowej jest równe 1.
Więc jest to rzecz interesująca dla was do przemyślenia, co
to może w ogóle znaczyć.
Porozmawiajmy o kilku innych właściwościach.
I wtedy możemy połączyć je razem z paroma
przykładowymi problemami. Powiedziałem wam w ostatnim filmie co to
znaczy podnieść do minusowej potęgi.
a do -1, albo może powinienem powiedzieć do potęgi
-b jest równe 1 przez a do potęgi b.
Więc przeróbmy to na paru konkretnych przykładach.
3 podniesione do -3 jest równe 1 przez 3 do potęgi 3,
co jest równe 1 przez 3 razy 3 razy 3, co
jest równe 1 przez 27.
Jeśli zapytałbym was ile to jest 1/3 do -2 potęgi
więc, to będzie równe 1 przez 1/3 do
potęgi drugiej.
Uwalniasz się od minusa i odwracasz to.
Więc to będzie równe 1 przez--
ile to jest 1/3 razy 1/3?
1/9.
To jest równe-- to jest 1 podzielone przez 1/9 co jest tym samym
co 1 razy 9, więc równa się to 9.
I to ma sens, ponieważ 1/3, pamiętaj, 1/3 to
ta sama rzecz co 3 do potęgi -1, prawda?
3 do -1 równa się 1 dzielone przez 3 do pierwszej potęgi.
co znaczy to samo co 1/3.
Więc jeśli zamienimy 1/3 na 3 do -1, to jest 3
do -1 do -2.
Te dwie rzeczy są równoważnymi twierdzeniami.
I jeśli użyjemy jednej z tych własności , której nauczyliśmy się w
pierwszym filmiku, możemy wyciągnąć rezultat
tych dwóch potęg.
Więc to się równa 3 do -1, razy -2
co jest po prostu +2, co się równa 9.
Jest to bardzo składne, jak te własności potęg
naprawdę pasują do siebie jak przyjemne, zgrabne puzzle, i nie
przeczą sobie wzajemnie.
I nieważne której własności używasz, dostaniesz
prawidłową odpowiedź na końcu, tak długo jak nie zrobisz
czegoś zwariowanego.
Teraz, ostatnia rzecz którą chcę zdefiniować jest pojęcie
potęgi ułamkowej.
Więc, jeśli mamy coś do potęgi ułamkowej -- więc
powiedzmy, że mam a podniesione do potęgi 1/b.
Zdefiniuję to.
To będzie równe pierwiastkowi b-tego stopnia z a.
Pozwólcie mi wyjaśnić.
Zrobię tu kilka liczb.
Jeśli powiedziałbym 4 do potęgi 1/2 tutaj, to znaczy że to
jest to samo co pierwiastek kwadratowy z 4.
Co jest równe, jeśli bierzemy główny pierwiastek
to jest równe 2.
Jeśli wzięlibyśmy, by było jasne, 8 do 1/3 potęgi.
to będzie pierwiastek sześcienny z 8.
I to jest, na pewnym poziom, jedna z czasami najbardziej
mylących rzeczy w potęgach.
Jak mówię, jaka liczba pomnożona przez siebie 3 razy
jest równa 8?
Więc, jeśli powiedziałbym że x jest równe 8 do potęgi 1/3, to jest
dokładnie to samo co powiedzienie że x do trzeciej
potęgi jest równy 8.
Skąd wiem że są to równoznaczne twierdzenia?
Mógłbym wziąć obie strony tego równania
do potęgi trzeciej.
Jeśli wezmę lewą stronę równania do potęgi trzeciej i
prawą stronę do potęgi trzeciej, co dostanę?
Po lewej stronie, dostanę x do trzeciej.
Po stronie prawej, dostanę 8 do 1/3 razy 3, co jest
właśnie 3 dzielone przez 3, co jest właśnie 1.
Więc, jesli x równa się 8 do 1/2, czym jest x?
Więc, 2 razy 2 razy 2 równa się 8.
I nie ma naprawdę prostej drogi, zwłaszcza jeśli pójdziesz do
pierwiastka czwartego stopnia, piątego stopnia, i masz dziesiętne
do kalkulowania.
Prawdopodobnie bedziesz potrzebował kalkulatora przez większość czasu.
Ale rzeczy takie jak 8 do 1/3, albo 16 do 1/4, albo 27 do
1/3, one nie są trudne do policzenia.
Więc to tutaj, żeby było jasne, to 2.
Zróbmy to nieco bardziej problematycznym.
Ile to jest 27 do -1/3?
Nie martwicie się za bardzo.
Zrobimy to krok po kroku.
Jeśli masz potęgę minusową, to jest kompletnie
to samo co 1 przez 27 do potęgi 1/3.
Te dwa są równoznaczne.
Pozbywasz się minusa i bierzesz 1
przez całość.
I wtedy ile to jest 27 do potęgi 1/3?
Jaka liczba pomnożona przez siebie 3 razy jest równa 27?
Jest ona równa 3.
Więc to będzie 1/3.
Nieźle.
Teraz przeniosę to na inny poziom, zrobię to jeszcze
bardziej problematyczne, a nawet trudne.
Pozwólcie mi zrobić coś ciekawego.
Ile to jest 8 do 2/3 potęgi?
Teraz wydaję się to być trochę straszne.
I musicie pamiętać że jest to to samo
używając naszych zasad potęgowych, co 8
podniesiony do kwadratu do potęgi 1/3.
Skąd to wiem?
Więc, jeśli pomnożę te dwie potęgi, to będzie 2/3.
Więc 8 do 2/3 to to samo co 8 do kwadratu, i wtedy
pierwiastek trzeciego stopnia z tego.
Ale możecie spojrzeć na to z innej strony.
To powinno być też równe 8 do 1/3 do kwadratu.
Innym sposobem, kiedy pomnożę te potęgi
dostanę 8 do 2/3.
Zweryfikujmy dla siebie, czy naprawdę
dostaniemy tą samą wartość.
więc 8 do kwadratu to 64.
I podniesiemy to do potęgi 1/3
Tutaj mamy 8 do potęgi 1/3.
Już odkryliśmy ile to jest.
To jest 2, bo 2 do potęgi trzeciej to 8.
Więc to jest dwa do kwadratu.
Więc ile to jest 64 do 1/3?
Ile razy 3 pomnożone przez siebie da nam 64?
Więc, 4 razy 4 razy 4 równa się 64, albo 4 do trzeciej
jest równe 64, co znaczy, że 4 jest równe
64 do 1/3.
Więc to jest równe 4.
I, na szczęście dla nas, 2 do kwadratu jest także równe 4.
Więc nieważne jakim sposobem to robisz.
Możesz wziąć kwadrat i pierwiastek trzeciego stopnia, albo
możesz wziąć pierwiastek trzeciego stopnia i podnieść go do kwadratu.
Dostaniesz dokładnie tą samą odpowiedź.
Wszystko co robiłem było
z liczbami rzeczywistymi.
Pozwólcie mi zrobić parę problemów które przenoszą wszystko
co zrobiliśmy razem używając zmiennych.
Powiedzmy, że chcieliśmy zrobić kilka wyrażeń i chcemy
być pewni że nie ma minusowych
potęg w odpowiedzi.
Więc dodajmy x do -3 przez x do -7.
Jest gromada sposobów patrzenia na to.
Możemy patrzeć na to jak równe x do -3, razy 1
przez x do -7.
Ile to jest 1 przez x do -7.
To jest to samo co x do siódmej potęgi, prawda?
Jeśli masz 1 przez cokolwiek, możesz pozbyć się 1
i włożyć minusa na początek potęgi.
Ale jeśli wkładasz minus z przodu
minus -7, dostaniesz x do potęgi 7.
To może uprościć x do -3, razy x
do 7 potęgi.
I wtedy możemy dodać potęgi, co daje x do
czwartej potęgi.
Teraz, inny sposób, całkowicie poprawny sposób, gdzie moglibyśmy mieć
to zrobione, to to że możemy po prostu odjąć potęgi.
Moglibyśmy powiedzieć, ojej, to jest ta sama podstawa.
To będzie x do -3, minus
-7 potęga.
Więc, - 3 minus -7, to znaczy
-3 plus 7 co się równa x do potęgi 4.
I ostatni sposób -- To znaczy, właściwie jest więcej
niż jeden ostatni sposób w jaki możemy to zrobić.
Moglibyśmy powiedzieć x do -3 przez x do
-7 --, przepraszam, nie -x -- przez x do
-7.
Więc x do -3 jest tym samym co 1 przez x
do trzeciej -- to znaczy ten warunek tutaj -- razy 1 przez x
do -7, więc to powinno być równe 1
przez x do trzeciej razy x do -7.
Mógłbyś dodać potęgi, więc to jest równe 1 przez 3
minus 7 to jest x do -4.
I wtedy to -- jeśli po prostu pozbędziemy się odwrotności, weźmiemy
odwrotność tego, możemy włożyć minus z przodu
tego minusa, robiąc to dodatnim -- to będzie
równe x do 4.
Więc nieważne jak to zrobimy, tak długo jak będziemy zgodni z
regułami, dostaniemy x do 4.
Zróbmy jeszcze jeden.
I wtedy skończymy na teraz.
Powiedzmy, że mamy 3x do kwadratu razy y do potęgi 3/2.
I zamierzamy podzielić to przez x razy y do potęgi 1/2.
Jeszcze raz, to jest to samo co 3 razy x
warunki tutaj, więc 3 razy x do kwadratu przez x, razy y do
3/2 przez y do 1/2,
To bedzie się równało 3 razy -- ile to jest x
do kwadratu przez x?
Albo x do kwadratu przez x do potęgi pierwszej?
To będzie równe x do 2 - 1.
I wtedy to będzie razy y do 3/2 - 1/2.
Więc jak to się wszystko stało?
To się stało 3 razy x.
2 - z to po prostu 1 -- Mogę napisać tu x -- razy 3/2
minus 1/2 daje 2/2.
Więc to jest y do 2/2.
2/2, albo 2 połówki, to to samo co y.
Więc jest to równe 3xy.
Niemniej, zachęcam was do zrobienia o wiele, wiele
więcej przykładów.
Ale zobaczycie że używając zasad które
pokazaliśmy w ostatnich kilku filmach, możecie świetnie
uprościć każde wyrażenie z potęgą.
Więc przez kilka filmów powiedziałem wam że cokolwiek do potęgi zerowej równa się 1.