Tip:
Highlight text to annotate it
X
Pomimo tego, że dowód jest znany od wielu wieków,
to ja, Bernhard Riemann
będę tym, który pokaże Ci ten dowód.
Moja nazwisko jest często wymieniane w matematyce,
m.in. dzięki sferze Riemanna.
Udowodnienie to coś więcej niż pokazanie.
Nie wystarcza zobaczyć na filmie,
że pewne krzywe wyglądają jak okręgi
by mieć pewność, że w rzeczywistości nimi są.
Dowód matematyczny musi opierać się na rozumowaniu
by być przekonującym i musi wyjaśniać
dlaczego naprawdę jest to okrąg.
Wielki Euklides,
w trzecim wieku przed Chrystusem,
sformułował zasady matematycznej gry,
w swojej książce "Elementy".
Dowód musi opierać się na faktach,
które same muszą być udowodnione.
Ale od czegoś trzeba zacząć,
więc niektóre założenia muszą być zaakceptowane bez dowodów:
są to aksjomaty.
Z tego też powodu matematyka może wydawać się
gigantyczną konstrukcją,
której fundamenty opierają się na aksjomatach
w gdzie każda cegła leży na poprzedniej.
By uzasadnić teorię o stereograficznym rzucie okręgów,
powinniśmy zacząć od aksjomatów!
Oczywiście, nie mamy na to teraz czasu...
Założymy, że znamy już twierdzenia geometryczne,
które są poznawane, powiedzmy, w gimnazjum
i udowodnimy to twierdzenie.
Zacznijmy od czegoś prostego,
przecięcie sfery i płaszczyzny.
Widzimy, że gdy płaszczyzna przecina sferę,
i jeśli nie jest styczna do sfery,
to wtedy przekrój jest okręgiem.
Widzimy to
ale dlaczego jest to prawdą?
Jak możemy to udowodnić?
Rozważmy wybraną przez nas płaszczyznę, koloru niebieskiego.
Możemy poprowadzić prostopadłą linię
ze środka C sfery do płaszczyzny
Nazwijmy P podstawą tej prostopadłej linii.
Rozważmy dwa punkty A i B
znajdujące się na przecięciu sfery i płaszczyzny
i przypatrzmy się dwóm trójkątom CPA i CPB.
Dzielą wspólny bok: CP.
Oba posiadają kąt prosty
dlatego, że kąt przy P jest oczywiście kątem prostym.
Dzieje się tak dlatego, że płaszczyzna jest prostopadła do CP.
Zwróć uwagę, ze przeciwprostokątne AC i BC mają taką samą długość
ponieważ A i B znajdują się na sferze
i stąd są tak samo oddalone od środka C.
Ale przypomnij sobie twierdzenie Pitagorasa!
Skoro nasze dwa trójkąty prostokątne
posiadają dwa boki tej samej długości,
wszystkie ich boki muszą być tej samej długości!
Stąd udowodniliśmy, że
PA i PB są tej samej długości
to znaczy, że A i B są
na tym samym okręgu o środku P,
na niebieskiej płaszczyźnie.
Stąd udowodniliśmy, że
wszystkie punkty, które należą
zarówno do sfery jak i płaszczyzny
należą do jakiegoś okręgu.
Ale nie wynika z tego, że
wszystkie punkty na tym okręgu
leżą na sferze i płaszczyźnie?
Nie można tak założyć z góry! Wciąż musimy
to udowodnić!
Niech A będzie punktem, który znajduje się zarówno na sferze jak i płaszczyźnie.
Rozważmy okrąg na niebieskiej płaszczyźnie
ze środkiem P, przechodzący przez A.
Udowodnimy, że ten okrąg
zawiera się w sferze
Niech B będzie dowolnym punktem z tego okręgu
popatrz na dwa trójkąty CPA i CPB.
Mają wspólny bok: CP.
Oba są trójkątami prostokątnymi,
przez to że kąt przy p jest kątem prostym,
ale wiemy również, że odcinki PA i PB są równe
skoro A i B znajdują się na tym samym okręgu ze środkiem P.
Znowu używają twierdzenia Pitagorasa
zauważmy, że przeciw prostokątne
mają te same długości
CA równa się CB.
To oznacza, że punkt B
również leży na sferze
skoro leży w tej samej odległości od C jak A.
Udało się! Udowodniliśmy,
że gdy płaszczyzna przecina sferę
przekrój jest okręgiem.
Popatrzmy teraz na średnicę APB naszego okręgu
i umieśćmy ją w płaszczyźnie ekranu.
Niebieska płaszczyzna wydaje się być na ekranie prostą linią,
a sfera wydaje się być okręgiem.
Narysujmy linie styczne do okręgu w A i B.
Przecinają się w punkcie S.
Oczywiście, linia CS jest
osią symetrii dla naszej figury.
Dlaczego?
Cóż, dlatego że trójkąty CAS i CBS są równe!
Ale dlaczego? Ehm... ponieważ
oba są trójkątami prostokątnymi
posiadającymi wspólną przeciwprostokątną,
a boki CA i CB posiadają taką samą długość!
Ale dlaczego?
Cóż, ponieważ te boki są promieniami okręgu oczywiście!
Widzisz,
jeśli musielibyśmy dojść do końca argumentacją,
ten film byłby dłuższy od historii kina.
Popatrz!
Udowodniliśmy, że dowolny okrąg narysowany na sferze
może być traktowany
jako umiejscowienie stożka obrotowego
i stycznej do niego sfery.
Jeśli wolisz, to sfera jest jak gałka lodów
w stożku.
Cóż, nie powinniśmy
zapomnieć co było naszym celem!
Pokazanie, że rzut stereograficzny
przenosi okręgi w okręgi!
Udowodnijmy najpierw
coś co matematycy
nazywają lematem [twierdzeniem pomocniczym]:
Mamy tutaj płaszczyznę styczną do okręgu
w pewnym punkcie A, widzianą z boku.
Teraz, mamy styczną płaszczyznę
w innym wybranym punkcie B, również widziany z boku.
Przecięciem tych dwóch płaszczyzn jest linia d,
ale obecnie widzimy tylko jeden punkt
ponieważ ta linia jest prostopadła do ekranu.
Figura na które teraz patrzysz
jest symetryczne względem
linii dzielącej dzielącej dwie linie, jak to widać na rysunku.
Trójwymiarowy obraz jest symetryczny
względem płaszczyzny dzielącej pozostałe dwie płaszczyzny.
Wybierzmy płaszczyznę zawierającą odcinek AB.
Przecina ona linię d w punkcie M
jeśli nie jest do niej równoległa oczywiście.
Symetria względem dzielącej płaszczyzny
pokazuje, że AM i BM mają tą samą długość.
Trójkąt ABM jest równoramienny!
Oto i nasz lemat!
Cóż, teraz możemy udowodnić nasze twierdzenie,
korzystając z tego co właśnie się nauczyliśmy...
Rozważmy okrąg na sferze który nie przechodzi przez północny biegun.
Chcemy pokazać, że jego rzut jest okręgiem.
Popatrz! Jeżeli zamiast rzutować na płaszczyznę styczną do bieguna południowego
rzutowalibyśmy na jakąś inną równoległą płaszczyznę
to ze sławnego twierdzenia Talesa
wynika,
że wszystkie rzuty są podobne.
Stąd w celu udowodnienia naszego twierdzenia,
możemy wybrać płaszczyznę na którą będziemy rzutować
wedle naszego uznania
(oczywiście tak długo jak będzie równoległa do płaszczyzny stycznej do bieguna południowego).
Umieśćmy nasz żółty okrąg na stożku!
Pamiętasz?
gałka lodów
w stożku o wierzchołku S.
Będziemy rzutować
na poziomą płaszczyznę przez S.
Punkt B jest rzutowany do punktu D.
Ale.. popatrz na rysunek!
Trójkąty AMB i DSB są podobne!
Dlaczego?
Cóż, znowu twierdzenie Talesa! Zgodzisz się?
Teraz, przypomnij sobie nasz lemat!
Trójkąt ABM jest równoramienny.
Wieć to samo jest prawdziwe dla trójkąta BDS
tak, że BS
ma taką samą długość co DS.
Gdy B porusza się wzdłuż żółtego okręgu
odcinek BS pozostaje styczny do sfery.
Jego długość jest więc stała.
Skoro BS i DS posiadają tę samą długość,
poruszający się segment DS
również zachowuje stałą długość.
Popatrzmy,
powiedzenie, że DS posiada stałą długość
oznacza dokładnie to, że D
opisuje okrąg ze środkiem S
tak, ze rzut naszego żółtego okręgu
na poziomą płaszczyznę przez S
zawiera się w okręgu.
Widzimy, że
wynikając z twierdzenia Talesa
rzut na płaszczyznę styczną do bieguna południowego
również zawiera się w okręgu!
I to chcieliśmy udowodnić!