Tip:
Highlight text to annotate it
X
Już w kilku filmach dotychczas
aproksymowaliśmy pole obszaru pod krzywą
rozkładając ten obszar na prostokąty
a następne znajdując sumę pól powierzchni tych prostokątów
jako przybliżenie.
I to był zasadniczo pierwszy z przykładów,
któremu przyjrzeliśmy się bliżej, gdzie każdy z prostokątów
miał tę samą szerość.
Zatem podzieliliśmy na równe części odcinek
pomiędzy dwoma naszymi punktami krańcowymi a i b.
Natomiast wysokość prostokata była równa wartości funkcji
policzonej w lewym końcu każdego z prostokątów.
Dążyliśmy do uogólnienia powyższego i zapisania z użyciem znaku sigma.
To wyglądało jakoś w ten sposób.
I to był jeden z przypadków.
W dalszek kolejności rozważyliśmy sytuacje,
gdzie wysokość definowaliśmy jako wartość
funkcji w prawym końcu przedziału lub w jego środku.
W końcu skonstruowaliśmy nawet trapezy.
Wszystkie powyższe to szczególne przykłady sum Riemanna.
Czyli ta tutaj to suma Riemanna.
I kiedy ludzie dyskutują o sumach Riemanna
mają na myśli pojęcie bardziej ogólne.
Nie koniecznie trzeba robić to w ten sposób.
Moglibyście użyć trapezów.
Nie musicie wcale dzielić przedziału na równe na równe odcinki.
Użyłem odcinków równej długości ponieważ to uczyniło rzeczy
odrobine koncepcyjnie prostrzymi.
A to tutaj to zdjęcie człowieka,
od którego sumy Riemanna wzięły swoją nazwę.
To jest Bernhard Riemann.
Miał on duźy udział w tworzeniu matematyki.
Ale to, z czego jest najbardziej znany, przynajmniej
jeśli mówimy o pierwszym roku kursu analizy
to właśnie sumy Riemanna.
I jak ich używać dla zdefiniowania całki Riemanna.
Obaj Newton i Leibnitz zaproponowali
definicję po tym jak
sformułowali. opracowali rachunek różniczkowy, ale całka Riemanna
należy w pewnym sensie do głównego nurtu formalnych,
czy raczej powinienem powiedzieć ścisłych, definicji
tego, czym jest całka.
Zatem jeak możecie sobie wyobrazić, to jest jeden przykład sumy Riemanna.
Mamy n dokładnie tutaj.
Im większe jest n, tym lepsza będzie aproksymacja.
A więc jego definicja całki, która
jest dokładnie rzeczywistym polem obszaru pod krzywą,
czy definicja całki określonej, która
miałaby być dokładnym polem obszaru pod krzywą na przedziale [a, b]
polega na tym, aby wziąc tę sumę Riemanna, to nie musi być akurat ta,
wziąć zatem jakąkolwiek sumę Riemanna, i przejść z nią do granicy przy n dążacym do
nieskończoności.
Dla jasności, co sie dzieje,
kiedy n zbiega do nieskończoności?
Pozwólcie, że narysuję tutaj drugi wykres.
Powiedzmy, że to jest maja oś y.
To jest oś x.
To jest maja funkcja.
Przy n dążącym do nieskończoności-- więc to jest a,
to jest b-- dostaniecie teraz całe mnóstwo prostokątów.
Dostaniecie mnóstwo prostokątów dokładnie tutaj.
I dostaniemy za ich przyczyną coraz to lepsze i lepsze
przybliżenia dla rzeczywistego pola powierzchni.
A rzeczywiste pole powierzchni pod krzywą
wyraża się jeko całka od a do b z funkcji f(x) razy dx.
I widzicie dobrze skąd to się wzięło
czy tez w jakim sensie te oznaczenia są sobie bliskie.
Czy przynajmniej w moim umyśle, jak one się ze sobą wiążą.
Delta x była szerością każedej z tych części.
To tutaj to jest delta x.
Więc to jest delta x.
A to znowuż delta x.
I jeszcze inna delta x.
Rozsądny sposób wyjaśnienia czym jest dx
lub czym jest różniczka, to powiedzieć, że to jest granica do której zbiega delta x,
kiedy x staje sie nieskończenie małe.
Więc możecie wyobrazić to sobie, i nie jest to
wcale bardzo ścisły sposób myślenia o tym,
jako nieskonczenie małe-- ale nie równe 0-- nieskończenie małe delta
x, to jeden sposób zobaczenia tego.
A wię raz jeszcze, macie funkcję
razy jakas mała zmaina parametru delta x.
I sumujecie, aczkolwiek
sumujecie nieskończoną liczbę takich wyrażeń, od a do b.
I zostawię was z tym teraz
tak żebyście dostrzegli po prostu związek.
Znacie nazwy dla tych rzeczy.
Jeszcze raz, ta tutaj, to
nie jest jedyna suma Riemanna.
Faktycznie, ten napis często nazywa się lewą sumą Riemanna,
o ile używacie prostokątów.
Można skonstruować prawą sumę Riemanna.
Moglibyście brać punkty środkowe odcinków.
Moglibyście użyc trapezu.
Ale jeśli weżmiecie granicę którejkolwiek z tych sum Riemanna,
przy n dążacym do nieskończoności n, wtedy
dostaniecie definicję całki Riemanna.
Jak dotąd nie było jeszcze mowy o tym, w jaki sposób
właściwie oszacować to.
Na razie mamy jedynie definicję.
Z tym problemem zmierzymy się w przyszłych prezentacjach.