Tip:
Highlight text to annotate it
X
Witajcie w prezentacji o pochodnych.
Sądzę, że zauważacie, że teraz matematyka
staje się znacznie ciekawsza, niż była kilka tematów temu.
Cóż, zacznijmy z naszymi pochodnymi.
Wiem, że brzmi to dość groźnie.
Cóż, ogólnie, jezeli mam prostą - zobaczmy czy dam radę
narysować dobrze prostą - jeżeli mamy prostą
- to jest mój układ współrzędnych, który prosty nie jest... -
to jest prosta.
Kiedy mamy prostą, i zapytam was o jej
współczynnik kierunkowy - myślę, że wiecie jak to zrobić -
to jest po prostu zmiana w y podzielona na zmianę w x.
Jeżeli chciałbym znaleźć gradient prostej - który z powodu, że to prosta
jest dokładnie taki sam na całej
jej długości, ale jeżeli chciałbym znaleźć ten gradient
na dowolnym miejscu tej prostej, zrobiłbym to wybierając punkt
na osi x - powiedzmy, ze ten punkt.
Zmieńmy kolor, i wybrałbym
ten punkt - to nie ma większego znaczenia, wybrałem dwa
punkty i muszę teraz zobaczyć czym jest zmiana w igreku - to jest
zmiana w igreku, delta igrek, inny sposób mówienia
na zmianę w igreku, a to jest zmiana w iksie,
delta iks.
I teraz odkryliśmy, że gradient jest zdefiniowany jako
zmiana w igreku na zmianę w iksie.
I innym sposobem powiedzenia tego jest delta - to ten trójkąt
y podzielić na delta x.
Bardzo proste.
Teraz, co się dzieje, gdy to nie jest
prosta linia?
Zobaczmy czy starczy mi miejsca, by to narysować.
Drugi układ współrzędnych.
Nadal niezbyt prosty, ale chyba załapiecie.
Powiedzmy, że zamiast prostej jak ta, która
ma równanie y = mx+b...
Wracając, mamy krzywą y równa się x kwadrat
Narysuję to w innym kolorze.
Więc y równa się x kwadrat wygląda jakoś tak.
To krzywa, najpewniej znacie ją całkiem niexle.
I zapytam was: czym jest
gradient tej krzywej?
Pomyślcie o tym.
Co to znaczy: gradient krzywej?
Cóż, w przypadku prostej, gradient był stały na całej
jej długości.
Ale jeżeli spojrzycie na krzywą, to gradient
się zmienia, prawda?
Tutaj jest prawie płaski i staje się coraz większy, większy, większy
coraz większy, większy, aż staje się całkiem duży.
A im dalej, tym większy jest.
Możecie zapytać: skąd mamy wiedzieć jak
zmienia się gradient krzywej skoro on się zmienia?
Cóż - nie ma gradientu dla całej krzywej.
W przypadku prostej, jest to możliwe, gdyż
gradient nigdy się nie zmienia.
Lecz to, co możemy spróbować zrobić
to policzyć gradient w punkcie.
I ten gradient w punkcie będize taki sam jak
gradient prostej stycznej do krzywej.
Na przykład - zmienię na zielony - gradient w tym punkcie,
tutaj, będzie taki sam jak gradient takiej prostej.
Prawda?
Bo ta prosta jest styczna.
Dotyka zatem krzywej tylko w tym punkcie i w tym samym punkcie,
niebieska krzywa y = x kwadrat będzie miała
taki sam gradient jak zielona linia
Ale jeżeli przesuniemy się tutaj, mimo tego, że to jest
naprawdę słabo narysowany wykres, gradient będzie
wyglądał mniej więcej tak.
Gradient stycznej.
Gradient wówczas będzie ujemny, a tutaj będzie dodatni
gradient, ale jeżeli spojrzymy na ten punkt to gradient
będzie jeszcze bardziej dodatni.
Jak więc możemy to policzyć?
Jak mamy policzyć gradient w dowolnym punkcie
krzywej y = x kwadrat?
Tutaj przydają się pochodne i teraz zobaczysz
pierwszy raz czemu granica jest
naprawdę przydatnym pomysłem.
Przerysuję krzywą.
OK, narysuję osie, to jest oś y... Zrobię to tylko w
pierwszej ćwiartce - a to jest... - muszę znaleźć
lepsze narzędzie... - moja oś x, a krzywa będzie
narysowana żółtym.
Więc y równa się x kwadrat wygląda mniej więcej tak.
Teraz się zmusiłem, by narysować to
przynajmniej wystarczająco dobrze.
OK.
Powiedzmy, że chcemy znaleźć gradient w tym punkcie.
Nazwijmy ten punkt a.
W tym punkcie, x równa się a.
I to jest rzecz jasna f(a).
To, co możemy spróbować zrobić to znaleźć
gradient siecznej.
Prostej pomiędzy - weźmiemy inny punkt, powiedzmy, jakiś
blisko do tego punktu, powiedzmy tutaj. I jeżeli
znajdziemy gradient tej linii, to będzie
pewne przybliżenie gradientu naszej krzywej w
dokładnie tym punkcie.
Więc narysujmy sieczną.
Mniej więcej tak.
Sieczna tak powinna tak wyglądać.
I powiedzmy, że ten punkt leży w a plus h, gdzie
ten dystans to h, a to jest plus h. Przesunęliśmy się o
h jednostek od a, a ten punkt tutaj ma wartość
f(a+h).
Moje piórko się psuje...
Czyli to będize pewne przybliżenie naszego
gradientu w tym punkcie.
A im mniejsze staje się h, imbardziej zbliżają się punkty
do siebie, tym lepsze jest nasze przybliżenie.
Jeżeli udałoby się nam zbliżyć punkty tak blisko,
by h było równe 0, wtedy to byłby nasz gradient.
gradient chwilowy, w punkcie na krzywej.
Ale jak możemy policzyć gradient, gdy h jest równe zeru?
Więc teraz mówimy, że gradient pomiędzy tymi punktami
będzie zmianą w y, czyli co będzie
zmianą w y?
To jest to, więc punkt tutaj - współrzędna x
to... - moje piórko wariuje - iks jest równy
a plus h, a y jest równy f(a+h).
A ten punkt ma współrzędna a i f(a).
Używając naszego wzoru na gradient prostej, jak wcześniej, widzimy, że
jest to zmiana w igreku na zmianę w iksie.
Co jest zmianą w igreku?
To jest f(a+h) - ten koordynat - minus ten
koorynat - minus f(a) podzielić na zmianę w iks.
Cóż, ta zmiana w iks to ta współrzędna, a+h, minus
ta współrzędna, minus a.
Oczywiście, to i to a się odejmują.
Uzyskujemy zatem f(a+h)-f(a) podzielić na h.
To jest gradient siecznej.
I jeżeli chcemy uzyskać gradient stycznej, chemy
by nasze h stawało się coraz mniejsze i
mniejsze, i mniejsze.
I myślę, że wiecie, co mam na myśli.
Naprawdę, jeżeli chcemy znaleźć gradient tej
stycznej, musimy znaleźć granicę tego wyrażenia
, gdy h zmierza do zera.
Wtedy, gdy h zmierza do zera, gradient siecznej zacznie
zbliżać się coraz bardziej i bardziej do gradientu stycznej.
I wtedy poznamy dokładny gradient na dokładnej wartości
punktu na krzywej.
I, przy okazji, to jest definicja
pojęcia pochodnej.
I pochodna jest niczym więcej jak gradientem
krzywej w punkcie.
To jest bardzo użyteczne, gdyż po raz pierwszy
wszystko to, co mówiliśmy do teraz jest
gradientem linii.
Ale teraz, możemy wziąć każdą ciągłą krzywą, lub większość
ciągłych krzywych, i znaleźć ich gradienty
w danych punktach.
Więc teraz, skoro poznaliśmy definicję pochodnej
i stało się to dla was troszkę intuicyjne,
w następnej prezentacji użyjemy jej do obliczeń
dla danej funkcji, jak iks kwadrat, i innych oraz
pokażę wam inne zadania.
Do zobaczenia w następnym filmie!