Tip:
Highlight text to annotate it
X
W poprzednim filmie obliczyliśmy prawdopodobieństwo
uzyskania dokładnie trzech reszek
w trakcie pięciu rzutów uczciwą monetą.
W tym filmie chcę podejść do tego typu problemów
w nieco bardziej ogólny sposób.
Zaczniemy od założenia, że posługujemy się uczciwą monetą,
chociaż oczywiście takie założenie wcale nie jest konieczne.
Chcemy wyznaczyć prawdopodobieństwo
uzyskania K reszek w N rzutach uczciwą monetą.
Najpierw musimy zastanowić się *** tym,
ile mamy wszystkich możliwości.
Mamy wykonać n rzutów.
Czyli mamy pierwszy rzut, drugi rzut, trzeci rzut,
aż do n-tego rzutu.
Mamy również do czynienia z uczciwą monetą,
w każdym z rzutów mamy dwie tak samo prawdopodobne możliwości.
Całkowita liczba możliwości będzie równa
2 razy 2 razy 2 i tak n razy.
To będzie równe 2 do n-tej potęgi.
Teraz pomyślmy ile z tych równie prawdopodobnych-
to są wszystkie równie prawdopodobne możliwości,
to jest uczciwa moneta -
pomyślmy ile z tych
równie prawdopodobnych możliwości wiąże się z uzyskaniem k reszek.
Cóż, dokładnie tak samo
gdy myśleliśmy o 3 reszkach.
Popatrzmy, pierwsza spośród tych k reszek,
do ilu różnych kubełków może wpaść?
Cóż, pierwsza z k reszek może wpaść
do jednego z n różnych kubełków, prawda?
Może wypaść w pierwszym rzucie, drugim rzucie,
aż do ostatniego n-tego rzutu.
Druga spośród k reszek,
nie mamy póki co ustalone ile wynosi K.
Mamy n-1 możliwosci.
Trzecia spośród K reszek
będzie miała n - 2 możliwości,
ponieważ dwa z tych kubełków są już zajęte.
Będziemy kontynuować ten tok myślenia,
aż wyczerpiemy wszystkie K reszek.
Czyli ten ciąg zejdzie aż do,
przemnożymy tutaj przez siebie
k kolejnych czynników,
jeden na każdą z K reszek.
To jest pierwsza, druga, trzecia,
i dalej przechodzimy przez pozostałe możliwości dla kolejnych reszek, aż dochodzimy do n - (k-1).
Możemy wypróbować dla piątki.
Gdy N było równe 5 i K było równe 3,
ten człon był równy 5 razy 4
razy 3,
3 odpowiada temu ostatniemy wyrażeniu.
Obecnie zajmuje się przypadkiem, który może być trochę dłuższy,
w przypadku gdy będziemy mieć do czynienia z nieco większą liczbą,
ten wyraz jest równy 5 - 2,
więc odpowiada temu wyrazowi.
Nie chę namieszać wam w głowie.
Zapiszę to inaczej.
Będziemy mieć n miejsc dla pierwszej reszki,
n - 1 miejsc dla drugiej reszki.
Kontynuując, ogólnie chcemy mieć
k takich wyrazów, które później przez siebie przemnożymy
i ostatnia reszka będzie miała (n-(k-1)) możliwości.
Teraz miejmy nadzieję, że ładniej się to pokryje z naszym przykładem
z pięcioma rzutami i trzema reszkami.
Ponieważ mieliśmy tam 5 możliwości dla pierwszej reszki,
4 możliwości dla drugiej reszki.
Mieliśmy również 3 możliwości dla ostatniej reszki.
Widać, że ten wzór się sprawdza. To jest ilość dostępnych miejsc
lub ilość sposobów na jakie możemy rozmieścić
kolejne z rzędu reszki,
lub w tym szczególnym przypadku na ile sposobów możemy rozmieścić trzy reszki
po 5 możliwych kubełkach.
Podobnie jak w poprzednim filmie,
nie chcę liczyć wielokrotnie tych samych kombinacji,
ponieważ nie interesuje mnie kolejność wyrzucenia reszek.
Nie chcę rozróżniać pomiędzy jednym ułożeniem reszek,
użyję liter do rozróżnienia
pomiędzy poszczególnymi reszkami.
Nie chcemy, żeby ta sekwencja była rozróżnialna od tej,
reszka A, reszka B lub dowolne inne ich ułożenie.
Musimy podzielić tą liczbę.
Musimy podzielić tą sekwencję liczb, tak żeby
nie liczyć osobno różnych ułożeń reszek.
Musimy podzielić tą liczbę, przez wszystkie możliwości
ułożenia k rzeczy,
ilość różnych sposobów w jakie można ułożyć k rzeczy.
Jeżeli mamy k rzeczy: pierwsza rzecz, druga rzecz, aż to k-tej rzeczy.
Na ile różnych sposobów możemy uporządkować ten zbiór?
Cóż, pierwsza rzecz może się znaleźć w k różnych miejsc.
Zapiszę to inaczej. To będzie rzecz numer 1,
T od rzeczy [ang. thing]. Rzecz nr 1, rzecz nr 2, rzecz nr 3, aż do rzeczy nr k.
Na ile różnych sposobów możemy je poukładać?
Rzecz nr 1 może znaleźć się na k różnych pozycjach.
Następnie rzecz nr 2 może znaleźć się w k-1 pozycjach
I podobnie aż do ostatniej rzeczy,
której zostanie tylko jedna wolna pozycja do obsadzenia.
To będzie równe k razy k-1 razy k-2
aż do 1.
W przykładzie gdzie mieliśmy 3 reszki w 5 rzutach.
Czyli 3 razy 2 razy 1.
Jest prostszy sposób na zapisywanie takich wyrażeń.
To wyrażenie,
możemy zapisać jako k silnia.
Jeżeli nie słyszeliście nigdy o silnii,
to dokładnie to wyrażenie.
K! znaczy to samo to k * (k-1) * (k-2)
przez kolejne liczby całkowite aż do 1.
Na przykład 2! jest równe 2 * 1.
Całkiem ciekawa funkcja,
wartości silni dla kolejnych liczb całkowitych bardzo szybko rosną.
Mianownik może zostać
zapisany jako K silnia.
Czy istnieje jakiś sposób na zapisanie licznika
za pomocą silnii?
Jeżeli zapisabyśmy N!, zobaczmy jak możemy to zapisać.
Jeżeli będziemy zapisywać N!
Znajdźmy sobie trochę miejsca na dole.
N! będzie równe n(n-1)(n-2) poprzez coraz mniejsze liczby całkowite
aż do jedynki, mniej więcej o to nam chodziło.
Chcemy jednak z tego ciągu jedynie k pierwszych wyrazów.
Wobec czego musimy podzielić tą liczbę
przez (n-k)!
Zastanówmy się co w ten sposób osiągniemy.
Jeżeli mamy tutaj (n-k)! to będzie odpowiadać -
będziemy musieli dokonać tutaj paru
przekształceń algebraicznych.
To jest to samo co (n-k) razy (n - k - 1) razy (n -k -2), poprzez kolejne liczby całkowite aż do jedynki.
Gdy podzielimy przez siebie te dwa wyrażenia,
jedynki się skrócą,
możecie sobie z tego nie zdawać sprawy,
możecie to sobie sprawdzić na dowolnym przykładzie.
Czynniki schowane w tym wielokropku zaczną się parami skracać, poskraca się tam praktycznie wszystko aż zostaniemy
z czynnikami od n razy (n-1) itd. aż do (n - (k - 1))
Dzieję się tak, ponieważ jeżeli rozwiniemy to wyrażenie
i wciągniemy minusa do środka,
otrzymamy n - k + 1.
n - k + 1 to liczba całkowita,
która jest o jeden większa od tej.
Jeżeli podzielimy przez to wyrażenie, to ten czynnik skróci się z czynnikiem tutaj,
ten czynnik skróci się z kolejnym tutaj.
Ten również skróci sie z którymś z kolei.
I zostatniemy dokładnie z tym
na czym nam zależało.
Jeżeli mi nie wierzycie, to możemy to przetestować.
Spróbujmy z 5! *** (5-3)!
To będzie 5 razy 4 razy 3 razy 2 razy 1.
Czyli całe to wyrażenie aż do jedynki.
podzielone przez: 5 - 3, co jest równe 2. Podzielone przez 2!, 2 razy 1. 2 skraca się z 2,
1 skraca się z 1. Nie musimy się już martwić tą częścią,
zostaje nam jedynie 5 razy 4 razy 3,
dokładnie to co mieliśmy tutaj, 5 razy 4 razy 3.
W ogólnym przypadku, jeżeli chcielibyśmy obliczyć
ilość możliwości w jakie możemy rozsadzić 2 rzeczy po 5 krzesłach,
przy czym te dwie rzeczy są dla nas nierozróżnialne,
będziemy korzystać z tego wyrażenia,
które jest z kolei takie samo jak to wyrażenie.
Będziemy mieli n!/(n-k)!
i później będziemy musieli podzielić
przez to wyrażenie,
które jak już wspominaliśmy znaczy tyle samo co k!.
Będziemy również dzielić przez k!
W ten sposób mamy ogólny sposób na obliczenie
ilości możliwych sposobów na jakie możemy rozmieścić 2 rzeczy,
lub teraz możemy powiedzieć nawet ogólniej,
ilość sposobów na jakie możemy rozmieścić k rzeczy
po n różnych kubełkach,
k reszek w n różnych rzutów.
Można to zapisać jeszcze inaczej,
ponieważ uzyskaliśmy równocześnie wzór na dwumian Newtona.
Można to zapisać jako ilość kombinacji,
biorąc pod uwagę, że mamy n kubełków
i możemy rozmieścić w nich k rzeczy,
bez rozróżniania pomiędzy poszczególnymi rzeczami.
Jeszcze inaczej możemy popatrzeć na to jako
n kubełków lub n rzutów
i chcemy wybrać k z nich pod reszki,
lub inaczej, chcemy wybrać k z nich w pewien sposób,
ale nie chcemy wprowadzać rozróżnienia pomiędzy reszkami.
Są to różne sposoby zapisania
dwumianu Newtona.
Wracając do pierwotnego problemu:
Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania k rzeszek
w n rzutach uczciwą monetą?
Cóż, mamy 2 do n-tej równie prawdopodobnych możliwości.
Zapiszę to.
W mianowniku 2 do n-tej
wszystkich równie prawdopodobnych możliwości
i ile z nich skutkuje wyrzuceniem
dokładnie k rzeszek?
Cóż, właśnie tym zajmowaliśmy się przez większość tego filmu.
To właśnie jest liczba tych możliwości.
Dobrym pomysłem może być zapamiętanie tego wzoru.
Powiem wam jednak,
że jedynym powodem dla którego pamiętam to
po 20 latach od momentu zobaczenia tego wzoru jest to,
że potrafię go sobie za każdym razem
wyprowadzić korzystając z logicznego myślenia.
W porządku, mam 5 rzutów, na trzech z nich mają wypaść reszki.
Pierwsza z nich może znaleźć się w jednym z pięciu kubełków,
następna w jednym z czterech,
i kolejna w jednym z trzech.
Następnie oczywiście nie chcę rózróżniać pomiędzy
sekwencjami, które różnią się jedynie
pozamienianymi miejscami reszkami.
Muszę się upewnić więc podzielę przez 3!
przez 3 razy 2 razy 1.
Chcę się upewnić, że podzieliłem
przez wszystkie możliwe sposoby
na jakie mogę porozkładać trzy różne rzeczy.