Tip:
Highlight text to annotate it
X
Gra karciana korzysta z talii składającej się z 36 kart, cztery kolory
(karo, pik, trefl, pik) -- tutaj powinno być spades [pik]
zamiast spaces [literówka] - z kartami ponumerowanymi od 1 do 9 w każdym z kolorów.
Wybieramy karty, które gracz będzie miał w ręce.
Jest to kolekcja 9 kart, które mogą być posortowane
wedle uznania gracza.
W porządku.
Ile różnych, składających się z 9 kart kolekcji może mieć gracz w swojej ręce?
Pomyślmy o tym.
Mamy 36 unikalnych kart -- i nie będziemy sobie zaprzątać głowy tym,
że w każdym z kolorów mamy 9 liczb, oraz że mamy 4 kolory.
4 * 9 = 36.
Pomyślmy o tych kartach jako o zestawie unikalnych kart od 1 do 36, bez rozróżniania na kolory.
Chcemy wybrać spośród nich dziewięć.
Na początku zauważmy, że mamy dziewięć miejsc na karty
w mojej ręce, prawda?
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Prawda?
Wybiorę 9 kart do mojej ręki.
Podczas wyboru pierwszej karty, spośród ilu kart
mogę wybierać?
Cóż, mamy 36 unikalnych kart, więc na pierwsze miejsce
mamy 36 dostępnych.
Teraz ta karta staje się częścią mojej ręki.
Do drugiego miejsca w mojej ręce, ile kart pozostało w tali
spośród których mogę wybrać?
Cóż, wyciągnąłem już jedną kartę z talii,
więc zostało 35 kart do wyboru.
Później dla trzeciego miejsca 34
i tak dalej.
Później 33, 32, 32, 30, 29 i 28.
Można powiedzieć, że mamy 36 razy 35,
razy 34, razy 33, razy 32, razy 31, razy 30, razy 29,
razy 28 możliwych kolekcji kart w ręce.
Byłoby to prawdą, jeżeli kolejność kart miała znaczenie.
To byłaby prawda jeżeli mielibyśmy tutaj kartę nr. 15.
Hmm... zróbmy to inaczej -- gdybym miał tutaj
9 pik i później pozostałe karty.
To byłby jeden zestaw kart w ręce.
Następnie miałbym inny zestaw kart.
Czyli tutaj mam jeszcze 1,2,3,4,
5,6,7, 8.
Mam jeszcze 8 innych kart.
A w innym wyborze zestawu kart w mojej ręce mam osiem tych samych kart: 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8 i dopiero na końcu mam 9 pik.
Jeżeli traktujemy to jako dwa zupełnie różne zestawy kart w ręce
ponieważ mamy dokładnie te same karty,
jedynie w różnej kolejności, wtedy to co obliczyłem
jest całkiem sensownie, ponieważ liczyliśmy uwzględniając kolejność kart.
Jeżeli mamy informację, że karty mogą być poukładane
według uznania gracza, to znaczy że ich kolejność nie ma znaczenia.
To znaczy, że liczyliśmy przee chwilą wielokrotnie to samo.
Liczymy dodatkowo wszystkie sposoby w jakie
ten sam zestaw kart może być ułożony.
Żeby nie liczyć wielokrotnie tych samych kombinacji, musimy podzielić tą liczbę
przez wszystki możliwe sposoby w jakie dziewięć kart może być rozłożone.
Musimy podzielić, przez wszystkie sposoby w jakie dziewięć kart może być
rozmieszczonych po dziewięciu miejscach.
Czyli na ile sposobów można porozmieszczać dziewięć kart?
Jeżeli mam dziewięć kart i wybiorę jedną z nich
na pierwsze miejsce, to znaczy że mam 9 możliwości
obsadzenia pierwszego miejsca.
Na drugie miejsce mam 8 możliwości wyboru karty do obsadzenia,
ponieważ jedną już wykorzystałem
do obsadzenia pierwszego miejsca, zostaje mi 8.
Póżniej 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.
Na ostatnim miejscu zostanie tylko jedna możliwa karta
do wybrania.
Ta liczba, gdzie bierzemy 9 * 8
* 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2
* 1 lub zaczynająć od 9 mnożymy ją kolejno przez
wszytkie liczby mniejsze niż 9.
Wszystkie liczby naturalne mniejsze od 9.
Taki działanie jest nazywane 9 silnia i wyraża się to
poprzez dodanie wykrzyknika.
Jeżeli chcemy znaleźć wszystkie różne sposoby,
jeżeli chcemy znać wszystkie różne kombinacje kart
znajdujących się w naszej ręce, będzie to ta liczba permutacji kart w naszej ręce,
gdy dbaliśmy o kolejność, ale później chcemy podzielić ją dodatkowo poprzez liczbę różnych sposobów
w jakie możemy ustawić tą samą kombinację kart, tak byśmy nie liczyli tej samej kombinacji wielokrotnie.
To będzie odpowiedź,
to będzie poprawna odpowiedź.
To jest super duża liczba.
Zobaczmy jak duża jest to liczba.
Mamy 36 -- pozwólcie, że przesunę ekran nieco w dół -- 36
* 35 * 34 * 33 * 32 * 31 * 30
* 29 * 28, podzielone przez 9.
Możemy zrobić to następująco.
Mogę dodać nawias, podzielone przez, nawias, 9
* 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3
* 2 * 1.
Miejmy nadzieję, że kalkulator poradzi sobie z tą liczbą.
Mamy wynik: 94,143,280.
Przesunę to na bok, tak bym mógł to odczytać.
Ta liczba jest równa 94,143,280.
To jest odpowiedź na nasze zadanie.
Jest 94,143,280 możliwych, składających się z 9 kart
zestawów kart jakie możemy mieć w naszej ręce.
Udało nam się przebić przez to zadanie.
Udało się nam to zrobić, korzystając z dosyć prostego rozumowania.
Jest gotowy wzór do takich zadań, który zasadniczo
robi dokładnie to samo.
Ludzie zapisują ten wzór w następującej postaci:
mamy 36 rzeczy i chcemy wybrać 9 spośród nich [dwumian Newtona].
Prawda?
I nie interesuje nas kolejność wyboru, odczytuje się to jako:
"n *** k".
Pozwólcie, że zapiszę to tak.
Co tutaj zrobiliśmy?
Mieliśmy 36 rzeczy,
wybraliśmy z nich 9.
Ten licznik jest równy 36 silnia,
ale 36 silnia powinno się ciągnąć jeszcze w dół poprzez 27, 26, 25 itd.
Powinno ciągnąć się jeszcze ładnych parę liczb.
Ale zatrzymaliśmy się po zapisaniu pierwszych dziewięciu od 36.
To jest 36 silnia, a ta część tutaj,
ta część tutaj to nie jest tylko 36 silnia.
To jest 36 silnia, podzielona przez (36 - 9) silnia.
Co to jest 36 - 9?
To jest 27.
To jest 27 silnia -- pomyślmy więc --
36 silnia, to byłoby 36 * 35 i ciągnęłoby się poprzez kolejne
liczby, razy 28 razy 27 aż doszłoby do 1.
To jest 36 silnia.
Teraz (36 - 9) silnia,
to jest 27 silnia.
Jeżeli podzielimy poprzez 27 silnia, 27 silnia to jest
27 razy 26 aż po samą jedynkę.
Cóż, te dwa czynniki są identyczne.
To jest 27 razy 26, czyli się skrócą.
Jeżeli podzielisz 36 silnia przez (36-9) silnia, to po prostu
wyciągasz pierwszych 9 czynników z 36 silnia,
dokładnie to co zrobiliśmy tutaj.
To by było to.
I później dzielimy jeszcze przez 9 silnia.
I to wyrażenie czyta się "36 *** 9"
Czasami możesz zobaczyć ten wzór zapisany następująco:
n *** k
i później zapisane jako równe: n silnia ***
(n - k) silnia i również w mianowniku k silnia.
Jest to ogólny wzór, kiedy mamy n rzeczy
i chcemy znaleźć wszystkie możliwe sposoby w jakie możemy
wybrać k rzeczy spośród n rzeczy
i nie interesuje nas kolejność.
Zależy nam jedynie na tym, by wiedzieć które k rzeczy wybraliśmy,
nie interesuje nas kolejność w której wybieraliśmy te k rzeczy.
To właśnire zrobiliśmy tutaj.