Domain of a Function

. Witajcie w mojej prezentacji na temat dziedziny funkcji. Czym właściwie jest dziedzna? Dziedzina funkcji, często będziecie słyszeć o tym w połączeniu z dziedziną i zbiorem wartości. Ale dziedzina funkcji określa po prostu dla jakich argumentów mogę zastosować funkcję, by otrzymać sensowny wynik. Zacznijmy więc od jakichś przykładów. Powiedzmy, że mam f(x) równe x kwadrat. . Pozwólcie, że zadam pytanie. Dla jakich argumentów mogę zastosować funkcję, aby otrzymać właściwą odpowiedź dla x kwadrat? Cóż, właściwie mogę użyć tu czegokolwiek, każdą liczbę rzeczywistą. A więc tutaj powiedzmy, że dziedzina jest zbiór x-ów takich, że x należy do liczb rzeczywistych. Jest to więc ładny sposób, by powiedzieć, że, OK, to R z tą dodatkową kreseczką tutaj to po prostu znaczy liczby rzeczywiste, i myślę, że zbiór liczb rzeczywistych jest Ci teraz znany. To prawie każda liczba spoza zbioru liczb zespolonych. A jeśli nie wiesz, czym są liczby zespolone, to nie ma problemu. Prawdopodobnie nie będziesz musiał tego teraz wiedzieć. Liczby rzeczywiste to liczby, które zna większość ludzi, włączając liczby niewymierne, włączając liczby przestępne, włączając ułamki - każda liczba jest liczbą rzeczywistą. Więc tutaj dziedziną jest x - x musi po prostu należeć do liczb rzeczywistych. A ten mały znaczek przypominający e, to po prostu znaczy, że x należy do liczb rzeczywistych. Przejdźmy więc do kolejnego przykładu z małą zmianą. . Powiedzmy, że f(x) jest równe 1 przez x kwadrat. Czy mamy tu taką samą sytuację? Czy nadal mogę przyjąć tu każdy argument x i dostać sensowną odpowiedź. Tylko czym jest f(0)? . f(0) jest równe 1 przez 0. A czym jest 1 przez 0? Nie wiem, czym jest, więc jest nieokreślone. . Nikt nigdy nie podjął się zdefiniowania czym powinno być 1 przez 0. I prawdopodobnie nikt tego nie zrobił, więc niektórzy ludzie pewnie myśleli czym to powinno być, ale pewnie nie potrafili odkryć dobrej definicji dla 1 przez 0, która zgadzałaby się z reszta matematyki. Więc 1 przez 0 pozostaje nieokreślone. Zatem f(0) jest nieokreślone. Nie możemy więc użyć 0 i dostać sensowną odpowiedź dla f(0). Powiedzmy więc, że tutaj dziedzina jest równa -- zrób małe nawiasy, co pokazuje zbiór, który stosujemy dla x-ów. To te małe nawiasy klamrowe, których nie narysowałem zbyt dobrze. x wciąż należy do liczb rzeczywistych, ale takich, że x jest różne od 0. Tutaj więc zrobiłem małą zmianę tego, co miałem poprzednio. Wcześniej powiedzieliśmy, że kiedy f(x) jest równe x kwadrat, to x jest jakąkolwiek liczbą rzeczywistą. Teraz mówimy, że x jest dowolną liczbą rzeczywistą różną od 0. To jest po prostu ładny sposób, by to powiedzieć, a te nawiasy klamrowe po prostu oznaczają zbiór. Zróbmy jeszcze kilka przykładów. Powiedzmy, że f(x) jest równe pierwiastek z x odjąć 3. Więc jak poprzednio powiedzieliśmy, ta funkcja nie jest określona, kiedy mamy 0 w mianowniku. Ale co jest interesującego w tej funkcji? Czy możemy spierwiastkować liczbę ujemną? Dopóki nie dowiemy się o liczbach urojonych i zespolonych, nie możemy. Więc tutaj powiemy, że każdy x tu pasuje poza x-ami, które sprawiają, że wyrażenie pod pierwiastkiem jest ujemne. Więc musimy powiedzieć, że x minus 3 musi być większe lub równe 0, ponieważ mógłbyś spierwiastkować 0, to jest w porządku, to jest po prostu 0. Czyli x odjąć 3 musi być większe lub równe 0, a więc x musi być większe lub równe 3. Więc tutaj naszą dziedziną są x-y rzeczywiste, które są większe lub równe 3. . Zróbmy teraz coś odrobinę trudniejszego. Co jeśli powiedziłabym, że f(x) jest równe pierwiastkowi kwadratowemu z wartości bezwzględnej z x odjąć 3. Więc teraz to staje się odrobinę bardziej skomplikowane. Więc tak jak wtedy, to wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nadal większe lub równe 0. Więc możesz po prostu powiedzieć, że wartość bezwzględna z x odjąć 3 jest większa lub równa 0. Więc mamy, że wartość bezwzględna z x musi być większa lub równa 3. A żeby wartość bezwzględna z czegoś była większa lub równa czemuś, to oznacza to, że x musi być mniejszy lub równy -3 lub x musi być większy lub równy 3. To ma sens, ponieważ x nie może być równe -2, prawda? Ponieważ wartość bezwzględna z -2 jest mniejsza niż 3. Więc x musi być mniejsze niż -3. To musi być dalej na lewo niż -3 lub dalej na prawo niż 3. Więc, jeszcze raz, x musi być mniejsze niż -3 lub x musi być większe niż 3, więc mamy naszą dziedzinę, Więc x należy do liczb rzeczywistych --zawsze zapominam. Czy tu ma być linia? Zawsze zapominam, czy tu ma być dwukropek czy linia. Wybaczcie, od lat nie zajmowałem się takimi rzeczami. W kazdym razie, myślę, że wiecie, o co chodzi. To może być każda liczba rzeczywista, o ile x jest mniejsze lub równe -3 lub x jest większe lub równe 3. Pozwól, że zadam teraz pytanie. Co jeśli zamiast tego, to byłoby mianownikiem, to mamy zupełnie odrębny problem. Więc teraz mamy 1 przez pierwiastek z wartości bezwzględnej z x odjąć 3. W jaki sposób to zmienia sytuację? Więc to wyrażenie w mianowniku nie tylko musi być większe lub równe 0, czy to nadal może być równe 0? Otóż nie, ponieważ wtedy mielibyśmy pierwiastek kwadratowy z 0, który jest równy 0 i mielibyśmy 0 w mianowniku. Więc to jest jakby ten problem połączony z tym problemem. Więc mamy 1 przez pierwiastek z wartości bezwzględnej z x odjąć 3, teraz to już nie jest większe lub równe 0, to jest po prostu większe od 0, tak? To jest po prostu większe od 0. Ponieważ nie możemy mieć 0 w mianowniku. Więc jeśli to jest większe niż 0, to wtedy to jest większe niż 3. I w gruncie rzeczy wystarczy pozbyć się tutaj znaków równości. Wymażmy to. . To odrobinę inny kolor, ale może nie zauważysz. Proszę bardzo. Właściwie powinniśmy zrobić kolejny przykład, skoro mamy czas. . Wymażmy to. OK. Powiedzmy teraz, że f(x) jest równe 2, jeżeli x jest parzyste i 1 przez x minus 2 razy x minus 1, jeżeli x jest nieparzyste. Więc jaka jest tutaj dziedzina? Jaki jest właściwy x, który mogę tu użyć. Więc natychmiastowo mamy dwa przypadki. Jeśli x jest parzyste, wtedy odnosimy się do tego przypadku, więc f(4) jest równe 2, ponieważ tu użyliśmy tego przypadku. Natomiast ten przypadek dotyczy x nieparzystego. Jak zrobiliśmy w poprzednim przykładzie, jakie są sytuacje, kiedy to się psuje? Wtedy, gdy mianownik jest równy 0. Mianownik jest równy 0, kiedy x jest równy 2 lub x jest równy 1, tak? Ale ten przypadek dotyczy tylko x nieparzystego. Więc x równe 2 nie odnosi się do tego przypadku. Więc tylko x równe 1 odnosi się do tego przypadku. Więc dziedziną są x-y należące do liczb rzeczywistych, takie, że x jest różne od 1. Myślę, że to narazie wszystko. Baw się dobrze ćwicząc te zadania związane z dziedziną. .