Tip:
Highlight text to annotate it
X
Musimy stawić czoła dość zniechęcającej
całce nieoznaczonej z pi dzielone przez x logarytm naturalny z x dx
Co moglibyśmy zrobić, by zbliżyć się do rozwiązania?
Czy możemy całkować przez podstawienie?
Cóż, by całkować przez podstawienie, chcielibyśmy znaleźć wyrażenie i jego pochodną.
Co się stanie, jeśli przez u oznaczymy logarytm naturalny x?
Czemu byłoby równe w tym wypadku du?
du będzie pochodną logarytmu naturalnego x względem x
co jest równe 1/x dx
Jest to równoważne stwierdzeniu, że du/dx jest równe 1/x.
Czy zatem widzimy 1/x dx gdzieś w naszym wyrażeniu?
Cóż, jest trochę ukryte
to nie jest aż tak oczywiste
ale to x w mianowniku to 1/x i jest ono mnożone przez dx.
Przepiszę nasze wyrażenie, żeby to, co mówię miało więcej sensu.
Pierwsza rzecz jaką zrobię, to wyciągnę
pi; powinienem użyć innego koloru
bo tego już używam...
wyciągnę zatem pi i postawię na początku,
wyciągnę pi przed całkę.
Zatem to będzie całka z
i najpierw napiszę 1 dzielone przez ln(x)
1 przez logarytm naturalny x
razy 1/x
dx
I teraz staje się to trochę jaśniejsze.
Te wyrażenia są całkowicie równoważne.
Ale to pokazuje nam, że tak
całkowanie przez podstawienie tu zadziała.
Naszym u będzie logarytm naturalny x
A naszym du będzie 1/x dx
1/x dx
Naszym du jest 1/x dx
Przepiszmy tę całkę.
Będzie ona równa
pi razy całka nieoznaczona z
1/u
bo logarytm naturalny z x to u
oznaczyliśmy u jako ln(x)
razy du.
razy du.
I teraz zostają już tylko proste rachunki.
Jaka jest całka tego wyrażenia?
I robiliśmy już
wiele podobnych przykładów.
Będzie to równe
pi
razy logarytm naturalny
logarytm naturalny z wartości bezwzględnej
z u
żeby obejmowało to także ujemne wartości u.
Logarytm naturalny z wartości bezwzględnej u
plus C.
Nie możemy zapomnieć o stałej.
Plus C.
I prawie gotowe. Pozostaje tylko odwrócić podstawienie.
u jest równe logarytm naturalny x.
Zostajemy zatem z tym ciekawie wyglądającym wyrażeniem.
Tę całą całkę nieoznaczoną uprościliśmy,
następnie policzyliśmy
i jest ona równa pi
razy logarytm naturalny
z wartości bezwzględnej u
ale u to logarytm naturalny x
logarytm naturalny x
i do tego mamy jeszcze plus C
o, tutaj.
I mogliśmy od początku przypuszczać
że nasze wyrażenie
będzie zdefiniowane tylko dla dodatnich wartości x
bo mamy tutaj logarytm naturalny
w którym nie ma wartości bezwzględnej.
Możemy zatem to zostawić jako logarytm naturalny z x.
Ale to działa też w przypadkach
(bo bierzemy z tego wartość bezwzględną)
gdzie wartość logarytmu naturalnego x jest liczbą ujemną.
Na przykład gdyby to był logarytm naturalny z
0,5 albo kto wie czego.
Ale nasza całka jest już policzona.
Uprościliśmy coś, co wydawało się
dość zniechęcającym wyrażeniem.