Tip:
Highlight text to annotate it
X
Sprawdźmy, czy damy radę całce z cosinusa 5x dzielonego przez e do potęgi sinus 5x dx.
I za moim oknem kracze jakaś wrona, więc postaram się nie stracić koncentracji.
Zastanówmy się więc, czy całkowanie przez podstawienie będzie tu właściwe. Pierwszym pomysłem może być
"Hej, może przez u oznaczymy sinus 5x i jeżeli u jest równe sinusowi 5x
to mamy coś bardzo podobnego do du tutaj". Sprawdźmy to.
Zatem du będzie równe; zatem du/dx (pochodna u względem x)
cóż, różniczkujemy złożenie. Pochodna 5x to 5,
razy pochodna sinusa 5x względem 5x, będzie to cosinus 5x.
Jeżeli chcemy zapisać to w formie różniczkowej, co jest przydatne, gdy całkujemy przez podstawienie,
możemy powiedzieć, że du jest równe 5cos(5x).
Ale kiedy tutaj spojrzymy, nie mamy tu do końca naszego du. Mamy tylko cos(5x)dx
przepraszam, potrzebujemy cos(5x)dx, o tak. Więc jeśli spojrzysz tutaj
masz cos(5x)dx, ale nie mamy 5cos(5x)dx
ale wiemy, jak to naprawić. Możemy pomnożyć i podzielić przez 5.
1/5 razy 5 to 1. Więc nie zmieniliśmy wartości naszego wyrażenia.
Ale kiedy robimy to w ten sposób, widzimy dość wyraźnie: mamy nasze u i mamy nasze du.
Nasze du to 5, narysuję tu niebieską ramkę
to 5cos(5x)dx. Czyli możemy przepisać nasze całe wyrażenie jako
I napiszę tę 1/5 na fioletowo, będzie to równe 1/5,
Mam nadzieję, że nie słychać tej wrony; staje się to powoli denerwujące
1/5 razy całka z, cóż, to wszystko na niebiesko to moje du,
i jest to dzielone przez e do u. A jak liczymy tę całkę?
Cóż, kuszące jest... właśnie, co byś tu zrobił?
Cóż, nie jesteśmy jeszcze gotowi, żeby po prostu wypisać funkcję pierwotną.
Gdybym miał to przepisać, przepisałbym to jako (to jest równe)
1/5 razy całka z e do minus u du.
I tak, to co może przyjść tobie do głowy to może zrobimy jeszcze jedno podstawienie
i używamy już litery u, mieć może teraz użyjemy w.
I możesz być w stanie policzyć tę całkę w pamięci, ale użyjemy drugiego podstawienia, żeby było to jaśniejsze.
A zatem, byłoby miło, gdyby to było po prostu e do u
bo wiemy jaka jest całka z e do u. To po prostu e do u.
Więc spróbujmy wymyślić jak się ma sprawa z e do czegoś ujemnego.
Zatem określmy, i kończą mi się kolory, w jako minus u.
I w tym przypadku, dw, pochodna w względem u, to -1
lub, gdybyśmy to zapisali w formie różniczkowej
dw jest równe du razy (-1) czyli minus du.
Więc to tutaj to jest nasze w, a czy mamy gdzieś dw?
Cóż, mamy tylko du - nigdzie nie mamy minus du.
Ale możemy stworzyć minus du mnożąc wnętrze tej całki przez -1
ale musimy też pomnożyć to, co na zewnątrz przez -1.
-1 razy -1 to 1, nie zmieniliśmy wartości całki.
Musimy zrobić obydwie te rzeczy, żeby to miało sens.
Możemy też to zrobić inaczej. Piszemy (-1) tutaj i (-1) tutaj.
I jeśli zrobimy to w ten sposób, to to -1 razy du
co jest tym samym co minus du, to jest tym tutaj.
Zatem możemy przepisać naszą całkę i będzie ona równa
teraz będzie to minus 1/5, staram się używać kolorów najlepiej jak umiem, minus 1/5
razy całka nieoznaczona z e do, cóż, zamiast minus u możemy napisać w.
e do w. I zamiast du razy -1 lub minus du możemy napisać dw.
I to znacznie upraszcza sprawę. Wiemy jaka jest tego całka względem w.
Będzie to równe minus 1/5 razy e do w i możemy mieć jeszcze jakąś stałą
więc piszemy plus C. Teraz musimy tylko odwrócić wszystkie nasze podstawienia.
Wiemy, że w to minus u, możemy zatem napisać
że jest to równe minus 1/5, chcę być konsekwentny z użyciem kolorów, e do minus u,
bo temu jest równe w, plus C. Ale jeszcze nie skończyliśmy odwracać podstawień.
Wiemy, że u jest równe sinusowi 5x. Możemy zatem to napisać jako równe
-1/5 razy e do minus u, czyli e do -sin(5x)
i na koniec mamy nasze plus C. Była łatwiejsza metoda, jaką można było to rozwiązać
za pomocą tylko jednego podstawienia. Ale patrząc na to, co policzyliśmy
możesz stwierdzić, że to nie było takie trywialne i nie jest niczym strasznym policzenie całki z e do minus u.
Pomysł, jaki mogłeś mieć, chociaż nie należy się zbytnio martwić
jeśli tego pomysłu się nie miało.
Mogliśmy przepisać naszą wyjściową całkę, zrobię to tutaj
to cosinus 5x dzielony przez e do sinus 5x dx. Mogliśmy napisać, że to wszystko jest równe
cosinus 5x razy e do minus sinus 5x dx. I w tej sytuacji, mogliśmy powiedzieć:
"niech u będzie równe -5x" i powiedzieć "cóż, jeśli u jest równe...
a raczej -sin(5x), wtedy du będzie równe -5cos(5x)"
a nie mamy nigdzie minus piątki, oj, dx, nie mamy tu nigdzie minus piątki,
ale możemy ją skonstruować pisząc -5 tutaj, a potem mnożąc przez -1/5
a to od razu uprościłoby naszą całkę do równej
minus 1/5 razy całka z, cóż, mamy nasze du, zrobię to innym kolorem,
to minus 5, zrobię to w ten sposób, -5cos(5x)dx
to nasze du, zmieniam kolejność mnożenia, razy e do u.
I teraz, za drugim podejściem wszystko sprowadza się do u. Więc w ten sposób, za pomocą tylko jednego podstawienia
mogliśmy od razu dostać wynik, który chcieliśmy. Bierzemy z tego całkę,
zrobię to teraz jednym kolorem, bo myślę, że już rozumiesz, jak to działa, to jest równe
-1/5 e do u plus C, u jest równe -sin(5x),
więc to jest równe -1/5 e do -sin(5x) plus C. I gotowe.
Ta metoda jest szybsza, jest prostsza i z biegiem czasu, możesz nawet być w stanie robić to w pamięci.
Ta na górze, wcale nie jest błędem oznaczenie przez u sinusa 5x,
po prostu musimy zrobić dodatkowe podstawienie, żeby dotrzeć do wyniku.
I byłem w stanie zrobić ten filmik mimo kraczącej wrony na zewnątrz - a raczej skrzeczącej wrony.