Tip:
Highlight text to annotate it
X
W ostatnim filmie liczyliśmy rozwinięcie szeregu McLaurina
funkcji e^x i otrzymaliśmy
wynik, który przypomina w pewien sposób
wielomianowe przybliżenie cosx i sinx.
Jednakże nie jest on dokładny,
ponieważ w kilku miejscach pojawiają się minusy.
Jeśli byśmy je naprawdę do siebie dodali
to nie otrzymalibyśmy...
to nie otrzymalibyśmy e^x.
Ale zaniedbując to...
Zrobię coś, co nie wiem czy można nazywać sztuczką...
Zobaczmy czy jeśli rozpatrzymy to wielomianowe rozwinięcie.
Jest to przybliżenie,
co się stanie...
Załóżmy że e do potęgi x jest równe prawej stronie,
gdy po prawej ilość ułamków rośnie do nieskończoności
i przestaje to być przybliżenie
a staje się dokładnym wzorem.
Co się stanie, jeśli rozpatrzę e do potęgi ix.
Wcześniej mogłoby to się wydać bardzo dziwne
Pozwól, że to zapiszę
e do potęgi ix...
Bo jak zdefiniować stałą e do potęgi i,
to bardzo dziwne podnosić coś do potęgi ix
Jak w ogóle rozumieć funkcję tego rodzaju.
Ale teraz kiedy możemy wyrazić to w formie
wielomianowego przybliżenia e^ix
może zrozumiemy co to tak naprawdę jest,
bo możemy podnosić e do różnych potęg
i wiemy co otrzymamy w wyniku takiego działania
bo i do kwadratu to minus 1
i do sześcianu daje minus i
i tak dalej...
Co jeśli rozpatrzymy e^ix
Jeszcze raz, to tak jak podnoszenie e do potęgi x
tylko x zastępujemy ix
Wszędzie gdzie widzimy x po prawej stronie,
w tym wielomianowym przybliżeniu,
zastępujemy go przez ix.
Zróbmy tak więc
e do ix powinno w przybliżeniu równać się,
a będzie to coraz bardziej dokładne,
i jest to bardziej kwestia intuicji,
nie będę tego tu dowodził,
ale dalej jest to ważne.
Nie chcę wyolbrzymiać na zapas,
ale wątpię żeby dało się nie wyolbrzymiać tego, co zaraz się tu stanie.
Będzie to się równać
jeden plus i, zamiast x podstawiamy ix
plus ix plus...
Więc co to jest ix do kwadratu
Będzie się to równać...
Pozwólcie że zapiszę...
ix do kwadratu *** dwa silnia
i kwadrat równa się minus jeden
i otrzymamy x kwadrat
*** dwa silnia
co daje minus x kwadrat *** dwa silnia.
Myślę, że może zaczynasz widzieć co to przypomina.
I teraz,
ile równa się ix do sześcianu?
Pamiętaj, wszędzie, gdzie widzisz x
wstawiasz ix
Więc ile równa się ix do sześcianu przez trzy silnia?
Pozwól, że to zapiszę.
Zapiszę to jeszcze raz, nie pomijając czegokolwiek.
W takim razie otrzymujemy
ix kwadrat przez dwa silnia
Chwila, zrobię to dokładnie tak, jak powinno być.
plus ix kwadrat przez dwa silnia
plus ix do sześcianu *** trzy silnia
plus ix do potęgi czwartej przez cztery silnia
i tak możemy kontynuować
plus ix do potęgi piątej przez pięć silnia
i tak do nieskończoności
Teraz obliczmy wartość tych ix-ów przy różnych silniach
Otrzymujemy jeden plus ix
ix do kwadratu równa się i do kwadratu razy x do kwadratu
i do kwadratu równa się minus jeden
więc otrzymujemy minus x kwadrat *** dwa silnia
i z tego otrzymujemy i do sześcianu razy x do sześcianu
i do trzeciej równa się i kwadrat razy i
co daje minus i
więc otrzymujemy minus i razy x do potęgi trzeciej
*** trzy silnia
i teraz,
plus
otrzymujemy...
Ile równa się ix do potęgi cztery?
to się równa i kwadrat razy i kwadrat
minus jeden razy minus jeden daje jeden
i do czwartej daje jeden
otrzymujemy więc x do czwartej przez cztery silnia
i teraz otrzymujesz
plus ix do piątej
więc plus i razy x do piątej przez pięć silnia.
Myślę że teraz możesz zauważać wzorzec
współczynnik równa się jedne, potem i, dalej minus jeden
później minus i oraz jeden
później i oraz i razy x do szóstej przez sześć silnia
i dalej minus i razy x do siódmej przez siedem silnia.
Mamy więc różne ułamki,
niektóre z nich są rzeczywiste, inne urojone
dlaczego nie mielibyśmy ich od siebie oddzielić
jeszcze raz, e do potęgi ix
będzie się równać prawej stronie
w przypadku nieskończonej ilości ułamków
rozdzielmy ułamki rzeczywiste i nierzeczywiste
albo rzeczywiste i urojone, jak powinienem powiedzieć
to jest rzeczywiste i to
to również
i to też jest rzeczywiste
a także to
i tak moglibyśmy kontuować
rzeczywiste części równają sie
jeden minus x kwadrat przez dwa silnia
plus x do czwartej *** cztery silnia
i teraz możesz się już podniecać
minus x do szóstej przez sześć silnia
plus, to już wszystko co zapisałem powyżej ale moglibyśmy tak dalej.
To są wszystkie części rzeczywiste.
Które są zatem urojone?
Pozwól, że wyłączę i przed nawias
więc otrzymujemy plus i
razy ix co daje x
i teraz...
to urojona część
i to również
wyciągnąłem i przed nawias
tak więc minus x do sześcianu przez trzy silnia
kolejny urojony ułamek jest tutaj, wyciągamy i przed nawias
plus x do piątej przez pięć silnia
i kolejny urojony ułamek
jest tutaj
wyciągnęliśmy i przed nawias
otrzymujemy więc minus x do siódmej ponad siedem silnia
i oczywiście tak byśmy kontynuowali
plus minus tak dalej
najlepiej do nieskończoności, aby otrzymać jak najdokładniejszy wzór.
Jesteśmy więc w sytuacji
że e do potęgi ix jest równe całej prawej stronie
ale, prawdopodobnie pamiętasz
z ostatnich kilku wideo,
że ta część rzeczywista równa się temu
przybliżeniu Mclaurina cosx
w otoczeniu punktu zero
właściwie to przybliżenie Taylora w otoczeniu zera
które możemy również nazywać przybliżeniem Mclaurina
Tak więc to i to są sobie równe
to jest więc cosx
Szczególnie, jeśli będziesz miał nieskończoną ilość ułamków
cosx
to tutaj jest sinx
dokładnie to samo
wygląda na to, że otrzymaliśmy sposób
który pozwala nam przybliżyć sinx i cosx żeby otrzymać
coś takiego
to tutaj jest równe sinx
Tak więc, jeśli uznasz to za prawdę,
nie będę tego dowodził,
że jeśli weźmiesz nieskończoną ilość ułamków w tym miejscu
to stanie się cosx
i jeśli weźmiesz nieskończoną ilość ułamków tutaj,
to stanie się sinx
co prowadzi do fascynującego, fascynującego wzoru
Możemy powiedzieć,
że e do ix,
e do potęgi ix
jest równe
cosx...
cosx
Powinieneś mieć już jakieś prześwity
...jest równe cosx plus i razy sinx
i to jest formuła Eulera!
to tutaj to Formuła Eulera
i jeśli to samo w sobie nie jest dla Ciebie wystarczająco
szalone i podniecające
a naprawdę powinno,
ponieważ zrobiliśmy naprawdę fascynujące rzeczy
mamy tutaj e do ix
które otrzymaliśmy z przybliżania nieskończoną ilością
ułamków prostych
mamy cos x i sinx
które są stosunkami trójkątów
które pochodzą wprost z okręgu jednostkowego
i w jakiś sposób
wrzuciliśmy tu pierwiastek z minus jeden
wygląda, jakby istniało fascynujące połączenie,
ale staje się ono jeszcze bardziej fascynujące
założymy że posługujemy się teraz radianami [miara łukowa kąta],
jeśli założymy, że formuła Eulera...
Co dzieje się, gdy x jest równe π,
po to żeby wrzucić tutaj kolejną szaloną liczbę,
stosunek pomiędzy obwodem okręgu i promieniem.
Co się stanie jeśli wstawimy tutaj π?
otrzymymy e do potęgi iπ
e do potęgi π
jest równe cosπ
Czym jest cosπ?
cosπ to...
π to pół drogi przez okrąg jednostkowy
cosπ daje więc minus jeden
i teraz
sinπ
daje zero
tak więc ta część jest równa zero.
Tak więc jeśli podstawisz π,
otrzymujesz coś niesamowitego,
i jest to nazywane tożsamością Eulera
tożsamość Eulera
(zawsze miałem problemy z pisownią nazwiska Euler)
tożsamość Euleta
które możemy zapisać jak teraz,
ale możemy też dodać jeden do dwóch stron
i zapisać to tak jak teraz
zapisze to różnymi kolorami żeby to podkreślić
e do i razy π plus 1 jest równe
(dodaję po prostu jeden do dwóch stron)
jest równe zero
I TO JEST...
...zmuszające do myślenia
mam na myśli,
tutaj mamy
to nam pokazuje że są we wszechświecie powiązania
których nie rozumiemy w pełni
...albo przynajmniej ja nie rozumiem
i jest zdefiniowane
przez inżynierów, dla prostoty, po to żeby mogli
znajdować pierwiastki różnych wielomianów
jako, jak można powiedzieć, pierwiastek z minus jeden
pierwiastek kwadratowy z minus jeden
π jest stosunkiem obwodu łuku i jego promienia
jeszcze raz, niezwykle ciekawa liczba
ale z zupełnie innego miejsca niż i
e pochodzi z wielu innych miejsc
jest to procent składany
bardzo ważna stała w finansach
pochodzi także z zależności, że pochodna e do x jest równa e do x
kolejna niezwykle fascynująca liczba
jeszcze raz
pozornie niepowiązane
z tym jak otrzymaliśmy i,
pozornie niepowiązane z tym jak otrzymaliśmy π
i oczywiście masz jedną z najbardziej podstawowych stałych
jeden
nawet nie muszę tłumaczyc dlaczego jeden jest taką ważną liczbą
i oczywiście nie powininem tłumaczyć dlaczego zero jest taką ważna liczbą
to równanie wiąże ze sobą wszystkie te podstawowe liczby
w jakiś tajemniczy sposób
który pokazuje że jest jakieś powiązanie ze wszechświatem
szczerze
szczerze,
jeśli to równanie nie powala Cię z nóg...
...naprawdę, nie masz uczuć