Tip:
Highlight text to annotate it
X
Dużo się napracowaliśmy mnożąć, dodając,
odejmując i odwracając macierze.
Teraz zgłębimy trochę temat tego, do czego
właściwie służą macierze.
I pamiętajcie, macierz jest sposobem,
zapisywania danych.
I wszystkie te zasady, których się nauczyliśmy, możecie uważać
za reguły stworzone przez ludzi.
Nie ma żadnej podstwowej zasady w naturze, która mówi, że
macierze muszą być mnożone w sposób który poznaliśmy.
Ale myślę, że przekonacie się w miarę poznawania zastosowań,
że sposób zdefiniowania operacji na macierzach,
jest właściwie całkiem użyteczny.
Wróćmy więc do naszej Algebry 1 lub Algebry 2.
Zapomniałem kiedy się tego uczycie.
Ale wróćmy do równań liniowych.
A więc czym są równania liniowe?
Układy równań liniowych.
A więc mamy dwie linie i zasadniczo próbujecie znaleźć
punkt, w którym te dwie linie się przecinają.
Czyli możecie mieć coś w rodzaju -- pozwólcie mi pomyśleć
powiedzmy 3x dodać 2y.
Jest równe 7.
A potem możemy mieć minus 6x dodać 6y równa się --
muszę to rozwiązać w pamięci, żeby upewnić się, że dostanę liczby,
które stanowią dobry przykład -- równa się 6.
Myślę, że to będzie dobrze działać.
Na czym w zasadzie polega to zadanie?
To jest linia prosta i to jest prosta.
Musimy znaleźć miejsce gdzie się one przecinają.
I jeżeli narysujemy te proste --
właściwie narysujmy je.
Dlatego, że tutaj chodzi o nabywanie intuicji i zrozumienia
jak to się przekłada na świat macierzy.
A zwrot 'świat macierzy' (ang. 'matrix world')
ma całkiem nowe znaczenie po roku 1999.
Zobaczmy więc, jeżeli to są moje osie współrzędnych, to co to jest?
Muszę zawsze przekszałcić wszystko do postaci y=mx + b
A więc czym jest to równanie?
To jest y=3/2 x + 7/2.
7/2 to ile to jest?
To jest 3 i 1/2 czy coś takiego?
Czyli tutaj jest 7/2, ta linia będzie miałą nachylenie 3/2.
Czyli to jest trochę bardziej stromo niż nachylenie 1.
Czyli będzie to wyglądać jakoś tak.
To jest ta linia.
A ta linia jak będzie wyglądać?
Zrobię to innym kolorem.
Będzie wyglądać -- zrobię to innym kolorem --
O, wiecie co?
Zrobiłem to źle.
Ponieważ ta linia, właśnie sobie uświadomiłem, ma równanie
minus 3/2 x plus 7/2.
Bo jak przenosimy to na drugą stronę, to zmienamy znak
i dostajemy minus 3 x dzielone przez 2, czyli
ta prosta będzie nachylona w dół.
Czyli będzie wyglądała mniej więcej tak.
Będzie trochę bardziej stroma niż coś
co ma nachylenie minus 1, czyli robię przybliżony rysunek.
Czyli ta linia będziw wyglądać mniej więcej tak.
A ta prosta, to będzie -- przekształcam to --
y= + x +1, jeżeli się nie mylę.
Tak.
Ponieważ to idzie na drugą stronę.
Dzielimy wszystko przez 6.
y równa się x dodać 1, czyli przetnie oś y -- powiedzieliśmy, że
to było 3 i pół, czyli może tu będzie 1.
I ma nachylenie 1.
Czyli ta prosta będzie wyglądać mniej więcej tak.
Czyli kiedy rozwiązujecie układ równań, to zasadniczo
szukacie wartości x i y, które spełniają
oba te równania.
Ta purpurowa linia reprezentuje wszystkie wartości xi y,
które spełniają to pierwsze równanie.
A ta zielona linia reprezentuje wszstkie iksy i igreki,
które spełniają drugie równanie.
I oczywiście punkt przecięcia oznacza
szczególne wartości x i y, które spełniają oba równania.
Czyli to robiliśmy na Algebrze 1.
Rozwiązywaliśmy te równania ze względu na to.
I robiliśmy to albo przez podstawienie, albo
dodawaliśmy je do siebie, itd, itd.
Jak zobaczycie to jest w zasadzie to samo,
czego nauczyliśmy się w metodzie eliminacji Gaussa.
To jest dokładnie to samo.
Kiedy robiliśmy eliminację Gassa,
po prostu reprezetnowaliśmy to trochę inaczej.
Ale myślę, że tyle wiecie.
Ale zróbmy to teraz w świecie macierzy.
A więc, jak możemy przedstawić to zadanie za pomocą macierzy?
Moblimyśmy zapisać to tak i poświęcę trochę czasu,
żeby udowodnić wm, że to na prawdę
jest to samo.
Jeżeli zdefininiujecie macierze w ten sposób, jak
zdefiniowaliśmy ich mnożenie,
możecie zapisać to zadanie, jako 3, minus 6, 2, 6.
Po prostu wziąłem te współczynniki 3, minus 6, 2, 6.
I jeżeli pomnożyłby to przez kolumnę,
wektor x y.
I jeżeli przyrównałbym to do innego wektora kolumnowego,
macierzy 7, 6.
Możecie teraz wcisnąć pauzę i spróbować to pomnożyć,
w ten sposób, którego się uczyliśmy,
jak się mnoży macierze.
I zobaczycie, że dostaniecie to samo.
Ale zrobię to teraz, na wypadek, gdybyście
nie chcieli zrobić tego sami.
A więc pomnóżmy te dwie macierze.
Pomnóżmy tę macierz i zobaczmy co się stanie.
A więc co robimy?
Bierzemy naszą informację wierszową z pierwszej macierzy,
informację kolumnową z drugiej macierzy.
I to jest oczywiście iloczyn naszych macierzy.
Czyli to jest 3 razy x dodać 2 razy 2 równa się 7.
To jest dokładnie to samo, co napisaliśmy tutaj na górze.
3 razy x dodać 2 razy y jest równe 7.
I podobnie, kiedy mnożycie dolny wiersz,
dostajecie minus 6 razy x dodać 6 razy y równa się 6.
Czyi jeżeli było to dla was trochę niezrozumiałe,
wróćcie i obejrzyjcie jeszcze raz mnożenie macierzy.
Ale jeżeli po prostu pomnożymy to,
to dostajemy dokładnie te same równania.
Czyli mam nadzieję, że rozumiecie, że to jest po prostu inny sposób
zapisania tego samego zadania.
Chociaż pozbyliśmy się znaków plus
i znaku równa się.
Ale oczywiście musicie rozumieć tę reprezentację.
Ale dlaczego to jest użyteczne?
Dlaczego ta reprezentacja jest użyteczna?
No więc ta, nazwijmy tę macierz A.
Nazwijmy ten wektor x.
To nie jest zmienna.
To jest wektor.
Więc może go pogrubię, albo dodam małą strzałkę
albo coś w tym stylu.
Cokolwiek.
Zobaczycie to w swoim podręczniku.
Jest na prawdę mocno pogrubiony.
A to nazwiemy wektorem b.
I generalną zasadą jest -- jeżeli dobrze pamiętam --
że cokolwiek co jest macierzą albo wektorem jest pogrubione.
A macierze, które nie są wektorami, które mają więcej
niż jeden wymiar,
oznaczamy dużymi literami.
A małe litery reprezentują wektory.
A więc to są macierze, ale również wektory.
Dlatego oznaczyłem je małymi literami.
I dlatego ta macierz dostała dużą literę.
Taka jest konwencja.
A więc to równanie ma postać Ax = b, gdzie
A jest tą macierzą, x jest tym wektorem -- lub tą macierzą, to to samo --
b jest tym wektorem kolumnowym.
Czyli co to nam daje?
No cóż, co by było gdybyśmy znali odwrotność?
Pozwólcie, że cofnę się o jeden krok.
Gbyby to były liczmy, co byśmy zrobili?
Gdybym dał wam równanie arytmetyczne ax = b,
jak byście je rozwiązali?
Po prostu podzielilibyście obie strony tego równania przez a.
Inaczej mówiąc, pomnożylibyście obie strony równania
przez odwrotność a.
W zasadzie powiedzielibyście, 1/a razy ax
równa się 1/a razy b.
I wtedy to by się skróciło i dostalibyśmy
x równa się b przez a.
Tak byśmy to zrobili w zwykłym,
prostym równaniu liniowym.
A jak robimy to tutaj?
Co jest macierzową analogią dzielenia?
Zaraz odpowiem wam na to pytanie.
Co jest analogią mnożenia przez odwrotność?
No cóż, mnożenie przez odwrotność.
Czyli co by było, gdybyśmy znali odwrotność macierzy?
Moglibyśmy po prostu pomnożyć obie strony
tego równania przez odwrotność
I pamiętajcie, że kolejność ma znaczenie.
Czyli to nie jest tak, jak w zwykłym równaniu arytmetycznym,
gdzie mogliśmy pomnożyć przez 1/a z tej strony
i wtedy moglibyśmy zrobić to z prawej strony tutaj.
Ale nie.
Zauważcie, że napisałem to przed tymi liczbami w obu przypadkach.
Czyli musimy to napisać przed liczbami w obu przypadkach.
Ale gdybyśmy znali odwrotność i jeżeli odwrotność istnieje, to wtedy
możemy pomnożyć obie strony -- możecie powiedzieć
pomnożyć obie strony z lewej strony przez odwrotność.
Odwrotność A razy A, razy wektor x jest równe
odwrotność A razy b.
Po prostu wziąłem to wyrażenie i pomnożyłem jego
obie strony przez odwrotność.
A ile jest odwrotność A razy A?
To jest po prostu macierz jendnostkowa.
To jest macierz jednostkowa razy x
równa się odwrotność A razy b.
A to jest po prostu x.
Macierz jednostkowa razy dowolna macierz
daje w wynikę tę macierz.
Czyli to jest po prostu macierz x, lub wektor x
równa się odwrotność A razy b.
Czyi jeżeli mamy dane równanie liniowe i jeżeli znamy odwrotność
tej macierzy, żeby znaleźć x i y, wystarczy
pomnożyć te liczby przez odwrotność.
I możecie powiedzieć: Sal to będzie bolało.
Przecież to jest taki prosty układ równań do rozwiązania.
Dlaczego mielibyśmy przechodzić przez te wszystkie trudności znajdowania macierzy odwrotnej,
a potem mnożyć odwrotność przez te liczby.
W pewnym stopniu zgodziłbym się z wami.
Dla układu równań 2 na 2, łatwiej jest
rozwiązać to sposobem, który poznaliście na Algebrze 1 albo Algebrze 2.
Ale jeżeli robicie to dla macierzy 3 na 3, cóż, znajdowanie odwrotności
jest nadal całkiem trudne dla 3 na 3.
Czyli to jest nadal trudne.
Ale jak idziecie do większych wymiarów,
to czasami -- własciwie znajdowanie odwrotności będzie nadal trudne.
Ale właściwie, miejsce gdzie się to na prawdę opłaca,
powiedzmy, że mamy dużo równań liniowych
do rozwiązania.
I lewa strona się nie zmienia.
Ale ciągle zmieniamy prawą stronę.
Czyli powiedzmy, że mamy Ax równa się b.
A potem mamy inny układ, który mówi Ax równa cię c,
i Ax równa się d.
Czyli te liczby się zmieniają,
a te liczby zostają ciągle takie same.
Wtedy na prawdę się opłaca znaleźć odwrotność.
I wtedy za każdym razem, kiedy potrzebujecie znaleźć nowe rozwiązanie,
po prostu mnożycie waszą nową prawą stronę
przez odwrotność i dostajecie odpowiedź.
I to się na prawdę opłaca, kiedy
patrzymy na to z innej strony.
W każdym razie, chciełem wam pokazać,
że to jest to samo.
A więc rozwiążmy to używając
naszej wiedzy o macierzach.
Wymarzę to tutaj, wiem że trwa to już długo,
ale mam nadzieję, że nie kompletnie was nie zanudzam.
To sobie zachowam, bo uważam,
że warto mieć tę wizualną reprezentację
tego co robimy.
Zawsze warto pamiętać co się dzieje.
Jaka jest nasza odwrotność?
A więc przede wszystkim odwrotność A równa się
1 przez wyznacznik razy macierz dołączona.
Nie chcę przesadzać z terminologią,
ale co to takiego?
2 na 2 jest całkiem proste.
Zamieniamy te dwa elementy. Mamy 6 i 3.
A potem zmieniamy znaki tych elementów.
Czyli minus 6 staje się plus 6.
A 2 staje się minus 2.
A ile wynosi wyznacznik A?
Wyznacznik A jest równy to razy to
odjąć to razy to.
Czyli 3 razy 6.
3 razy 6 daje 18 odjąć to razy to.
Czyli 6 razy 2 daje 12.
Czyli razem minus 6.
To jest minus 12.
Czyli minus minus 12
A to daje plus.
Czyli 18 plus 12 daje 30.
Czyli jaka jest odwrotność?
1 przez 30 razy to całe.
Czyli odwrotność jest równa -- możemy nawet trzymać
1/30 na zewnątrz.
To może nam uprościć.
A właściwie wstawie to.
Czyli jaka jest ta odwrotność?
To podzielone przez 30.
Czyli 1/5, minus -- właściwie to chcę
trzymać to na zewnątrz, bo później
łatwiej będzie mnożyć.
W każdym razie, odwrotność A jest równa 1/30 razy 6, minus 2, 6, 3.
To jest odwrotność.
A teraz rozwiążmy ze względu na x i y.
Powiedzieliśmy, że x i y jest równe odwrotność razy b.
Czyli moglibyśmy powiedzieć x -- inny sposób zapisania x jest taki.
x jest wektorem.
x i y.
Nie pomylcie ich. Ten x jest inny od tego x,
nawet jak piszę je tak samo.
Gbybym był typografem, zrobiłbym go naprawdę pogrubionym,
żebyście wiedzieli, że to jest wektor.
Może powinienem używać notacji wektorowej.
Nie wiem.
Możecie zrobić z tym dużo rzeczy.
To jest równe odwrotność razy to.
Czyli to jest 1/30.
Zrobiłem to żeby było prościej.
Nie dzieliłem wszystkiego przez 30, żeby mnożenie
żeby mnożenie macierzy było latwiejsze.
Minus 2, 3 razy 7, 6.
A więc czemu to się równa?
Równa się 1/30 razy -- wiem że robi się tu ciasno--
zobaczmy.
6 razy 7 odjąć 2 razy 6.
Czyli 6 razy 7 daje 42.
Minus 2 razy 6, czyli minus 12.
Czyli to jest równe 30.
A potem 6 razy 7 dodać 2 razy 6.
Czyli 6 razy 7, znowu 42.
Dodać 2 razy 6.
Czyli 42 dodać 12 daje 50...
Zgadza się?
6 razy 7 -- o przepraszam.
To jest 3.
Dlatego się zgubiłem.
Widzicie, ważne jest żeby mieć dobry charakter pisma.
Czyli 6 razy 7 daje 42 dodać 3 razy 6.
Czyli to jest 42 dodać 18 czyli 60.
I oczywiście dzielimy obie liczby przez 30.
I dostajemy ostateczny wynik na x i y.
Napiszę to tutaj.
Nie chcę niczego wymazywać.
Czyli otrzymujemy, że x y jest równe -- dzielimy obie te liczby przez 30
jest równe 1 i 2.
Czyli to nam mówi, że te dwa równania liniowe
przecinają się w punkcie x równym 1, y równym 2.
Może się wydawać, że było z tym trochę dużo pracy,
ale to dlatego, że dużo czasu poświęciłem na wyjaśnianie tego wszystkiego.
Ale gdybyście od razu wzięli to, zapisali to
w takiej postaci, znaleźli odwrotność, wymnożyli,
nie trwałoby to tak długo.
I zachęcam was, żebyście zrobili to jako ćwiczenie.
W każdym razie, do zobaczenia w następnym filmie.
A w następnym filmie zrobimy dokładnie to samo zadanie,
ale przekonamy się, że te dane
reprezentują inny problem.
Do zobaczenia.