Tip:
Highlight text to annotate it
X
.
Rozwiążemy jeszcze kilka przykładów.
Oto kolejne zadanie.
Niech x dąży do 3. Rozpatrzmy granicę wyrażenia
x do kwadratu, odjąć 6x, dodać 9, dzielone przez x do kwadratu odjąć 9. Gdy mamy do czynienia z obliczaniem granic,
pierwsze, co robimy, to wstawiamy liczbę, do której dąży x
(w naszym przypadku 3)
do wyrażenia. Jeśli otrzymamy skończoną liczbę,
to zazwyczaj mamy już rozwiązane zadanie.
Jak powiedziałem- zazwyczaj.
W ogólności nie jest to prawda,
ale dla funkcji ciągłych, które my rozpatrujemy, tak.
Jednak jeśli wstawimy 3 do licznika, otrzymujemy 3 do kwadratu
czyli 9, odjąć 18, dodać 9.
Otrzymujemy więc 0.
W mianowniku mamy 9 odjąć 9,
czyli również 0.
Wyrażenie 0 przez 0 nic nam nie mówi o tej granicy.
.
Może jednak da się uprościć to wyrażenie
tak, żeby otrzymać coś, co po wstawieniu
x równego 3, da nam
skończoną liczbę?
Mamy tu dwa wielomiany. Zauważmy, że
dość łatwo możemy je rozbić na iloczyny
dwóch nawiasów. Chcemy tak zrobić, bo może
w liczniku i mianowniku pojawi się taki sam czynnik,
a wtedy ułamek nam się znacznie uprości.
Zauważmy, że nasz ułamek możemy przedstawić jako
x odjąć 3...
x odjąć 3
W liczniku oczywiście mamy x-3 do kwadratu,
który równie dobrze możemy zapisać jako
iloczyn (x-3) razy (x-3).
Za to w mianowniku mamy
(x + 3) przemnożone przez (x - 3).
A więc granica przy x dążącym do 3, którą chcieliśmy obliczyć, jest taka sama
jak granica przy x dążącym do 3
naszego nowego wyrażenia.
Oczywiście nadal
to wyrażenie nie ma sensu
gdy wstawimy x równe 3.
Ale jeśli uprościmy je,
zobaczymy jaka jest szukana granica.
Załóżmy, że x jest dowolną liczbą różną od 3.
Wtedy możemy licznik i mianownik podzielić przez (x - 3),
ponieważ (x - 3) jest liczbą różną od 0.
Zróbmy tak.
Nie jest to może bardzo formalne,
ale myślę, że powinniście intuicyjnie czuć,
że szukana granica jest tym samym, co granica
przy x dążącym do 3 z wyrażenia (x - 3) przez (x + 3).
Podstawmy teraz x równe 3 i zobaczmy, co otrzymamy.
W liczniku mamy 3 odjąć 3.
Więc znów otrzymujemy 0.
Ale w mianowniku dostajemy 6,
ponieważ 3 dodać 3 daje 6.
Otrzymujemy więc konkretną liczbę.
Dzieląc 0 przez 6 otrzymujemy 0.
Więc wynik to 0.
To było ciekawe.
Za pierwszym razem otrzymaliśmy 0 przez 0.
A teraz, po uproszczeniu, otrzymaliśmy wynik 0.
Ale trzeba pamiętać, że nasze wyrażenie
nie jest określone dla x równego 3.
W każdym innym przypadku jest określone. Jeśli chcielibyśmy narysować wykres,
do czego Was zachęcam, zobaczylibyśmy,
że gdy x zbliża się do 3, wartość tego wyrażenia
zbiega do 0.
Tak, wiem, co myślicie.
Mieliśmy na początku 0/0.
Czy za każdym razem, gdy najpierw otrzymujemy 0/0, to na końcu dostaniemy odpowiedź 0,
gdy uprościmy nasze wyrażenie?
Sprawdźmy!
Zróbmy miejsce na nowe zadanie...
Znajdźmy więc granicę
przy x dążącym do 1 z wyrażenia: x do kwadratu, odjąć x, odjąć 2.
.
Nie, jednak będziemy dodawać x.
Widzicie, robiąc to wszystko w głowie,
czasem popełniam błędy.
W mianowniku mamy x odjąć 1.
Zróbmy tak samo, jak wcześniej,
podstawmy x równe 1.
Mamy 1 do kwadratu dodać 1 odjąć 2, a więc 0.
Znów otrzymaliśmy 0/0.
Mając 0/0, musimy zrobić coś,
by uprościć nasze wyrażenie.
Zapiszmy licznik jako iloczyn nawiasów.
Szukana granica będzie tym samym, co granica przy x dążącym do 1
z wyrażenia (x - 1) razy (x + 2).
W mianowniku zostaje x-1.
W zadaniach na obliczanie granic, często zdarza się,
że nawet jeśli z początku trudno wymyślić,
jak rozłożyć licznik na nawiasy,
jednym z czynników będzie ten, który sprawia,
że mianownik jest nieokreślony.
Czasem mamy bardzo złożony wielomian,
dobrze więc zacząć od
zgadnięcia, że jednym z czynników będzie ten
znajdujący sie w mianowniku.
Tej sztuczki często używa się, by uprościć ułamek.
Wróćmy do naszego zadania. Niech x będzie różny od 1,
wtedy (x - 1) jest różne od 0,
więc możemy podzielić licznik i mianownik przez (x - 1).
Szukana granica jest więc równa granicy,
przy x dążącym do 1, z wyrażenia (x + 2).
Teraz jest już bardzo łatwo.
Jaka jest granica, przy x dążącym do 1, z (x - 2)?
Po prostu wstawiamy x równy 1 i otrzymujemy wynik 3.
To było ciekawe.
Na początku, wstawiając x równy 1,
otrzymaliśmy 0/0.
W poprzednim przykładzie, po uproszczeniu
otrzymaliśmy granicę równą 0, tym razem wyszło nam 3.
Jeśli tylko macie graficzny kalkulator,
narysujcie obie te funkcje,
a zobaczycie, że granice, na przykład ta w drugim przykładzie,
przy x dążącym do 1, jest taka jak ta,
którą właśnie obliczyliśmy.
Wymyślajcie też własne przykłady!
Tak jak ja to robię.
I sami je rozwiązujcie!
Rozwiążmy jeszcze jedno zadanie.
Wydaje mi się dość interesujące.
.
Jaka będzie granica przy x dążącym do nieskończoności?
Znajdźmy granicę przy x dążącym do nieskończoności, z wyrażenia
x do kwadratu, dodać 3, dzielone przez x do potęgi 3.
O granicach przy x dążącym do nieskończoności, należy myśleć
tak, jakbyśmy rozpatrywali po prostu
bardzo, bardzo duże wartości x.
Robiąc to nieformalnie, możemy,
nawet nie mając kalkulatora, wstawić
do wyrażenia bardzo dużą liczbę.
Patrzymy, co dostaniemy, jeśli wstawimy x równy milion,
x równy miliard, x równy bilion i tak dalej,
chyba wiecie o co chodzi.
Jeśli granica istnieje, zobaczymy
do czego mniej więcej zbiega nasze wyrażenie.
Można też na to patrzeć tak: w liczniku,
najszybciej rosnącym wyrażeniem jest x do kwadratu.
x do kwadratu rośnie najszybciej.
A jakie jest najszybciej rosnące wyrażenie w mianowniku?
Oczywiście, w mianowniku, najszybciej rośnie
x do potęgi 3.
A co rośnie szybciej- x do potęgi 3,
czy też x do kwadratu?
Oczywiście x do potęgi 3 rośnie
znacznie szybciej niż x do kwadratu.
Więc mianownik, dla coraz większych wartości x,
rośnie dużo szybciej, niż licznik.
Jeśli wyobrazicie sobie ten mianownik rosnący
dużo, dużo szybciej niż licznik, dla coraz większych
wartości x, nasz ułamek będzie
coraz mniejszy, zgadzacie się?
Nasz ułamek będzie dążył do 0.
Przy x dążącym do nieskończoności, wyrażenie będzie dążyło do 0.
Dużo w tym machania rękami,
ale naprawdę tak trzeba o tym myśleć.
Inną metodą jest po prostu podzielić
licznik i mianownik.
Dzieląc licznik i mianownik przez x do kwadratu
otrzymamy 1/x dodać coś bardzo, bardzo małego,
a więc od razu widać, przy x dążącym do nieskończoności,
że 1/x dąży do 0.
Zróbmy ostatni przykład.
Zrobię go bardzo szybko.
Znajdźmy granicę przy x dążącym do nieskończoności, z wyrażenia: 3x do kwadratu,
dodać x, dzielone przez 4x do kwadratu, odjąć 5.
.
Coś takiego może wydawać się bardzo skomplikowane,
ale w rzeczywistości jest bardzo proste.
Po prostu myślimy o tym, co się dzieje z wyrażeniem, gdy
x jest bardzo duże.
Dla x dążącego do nieskończoności, te wyrażenia,
które nie rosną tak szybko jak pozostałe,
przestają mieć znaczenie,
bo rozpatrujemy tylko bardzo duże wartości x.
W naszym przypadku x i -5 nie mają znaczenia
a z kolei 3x^2 i 4x^2 rosną w tym samym tempie.
I zawsze będą rosnąć
w stosunku 3 do 4.
Czyli bardzo łatwo otrzymujemy wynik.
Szukana granica wynosi 3/4.
Jedyne, co trzeba zrobić, to sprawdzić,
który wyraz z licznika rośnie najszybciej,
a który z mianownika, wtedy jasne jest, ile wynosi szukana granica.
Jeśli znalezione przez nas wyrazy są w tej samej potędze, skracamy przez nie licznik i mianownik
i otrzymujemy skończoną liczbę, tak jak tutaj otrzymaliśmy 3/4.
Oczywiście nie jest to ścisła metoda,
jednak otrzymamy nią poprawny wynik.
Do zobaczenia w następnym filmie!
.