Tip:
Highlight text to annotate it
X
Podczas tego filmu chcę żebyście zapoznali się z pojęciem granicy, które jest bardzo, bardzo ważne
Jest to pojęcie, na którym bazuje cała analiza matematyczna
Pomimo wagi tego pojęcia, jest ono naprawdę proste.
Weźmy zatem pewną funkcję - a właściwie zdefiniujmy ją..
jakąś prostą funkcję. Zdefiniujmy f(x) - niech f(x) będzie równe (x-1)/(x-1).
Moglibyście powiedzieć, "Hej, zobacz, Sal, mam to samo w liczniku i mianowniku.
Jeżeli mam wyrażenie podzielone przez siebie, to będzie po prostu jeden! Nie mogę zwyczajnie uprościć tego do f(x)=1?"
A ja powiedziałbym, "Cóż, masz niemal rację, różnica pomiędzy f(x)=1 a tą tu funkcją
jest taka, że ta funkcja nie jest określona, gdy x=1. Więc jeśli weźmiemy - może napiszę tutaj - jeśli będziemy mieli... przepraszam, nie f(0)
jeśli będziemy mieli f(1), co się stanie? W liczniku dostaniemy 1-1, co jest równe... niech zapiszę...
w liczniku dostaniemy 0, a w mianowniku będzie 1-1, co także jest równe 0. A przecież dzielenie czegokolwiek
przez 0, włącznie z 0/0, nie jest określone. Tak więc można to uprościć - można by powiedzieć,
że to to samo, co f(x)=1, ale trzeba dodać założenie, że x jest różny od 1. Teraz to
i to niczym się nie różni. Oba wyrażenia będą równe 1, dla wszystkich x różnych od 1. Ale
dla x=1 te funkcje nie są określone. Ta nie jest określona, ani ta nie jest określona. Więc jak narysować wykres tej funkcji?
Naszkicujmy go... Tu jest moja oś y=f(x), tutaj oś x-ów, i niech
tutaj będzie punkt x=1, tutaj x=-1, tu mamy y=1, gdzieś tu mógłbym wpisać -1,
ale to nie ma zbyt wiele wspólnego z naszą funkcją, do rysunku tyle wystarczy. Tak więc istotnie, dla
każdego x różnego od 1, f(x)=1. Czyli będzie to wyglądać tak... z wyjątkiem jedynki. W punkcie 1 funkcja nie jest określona, więc
zrobimy tutaj taką lukę, to kółeczko oznacza, że funkcja
nie jest zdefiniowana - nie znamy wartości w tej funkcji w jedynce, bo jej nie określaliśmy.
Takie określenie funkcji nie mówi nam, co się dzieje w jedynce, funkcja dosłownie nie jest zdefiniowana, gdy x=1.
Tak więc mamy funkcję, i jeszcze raz, jeśli ktoś miałby was zapytać, ile wynosi f(1), odpowiedzielibyście...
jeżeli funkcja jest tak zdefiniowana, szukamy x=1. Ojej, zaraz! W mojej funkcji jest tutaj luka,
nie jest w tym miejscu określona. To napiszmy jeszcze raz... to właściwie niepotrzebne, ale przepiszę.
f(1) nie jest określona. Ale gdybym miał was zapytać, do czego dąży ta funkcja,
gdy x=1? Właśnie teraz jest nam potrzebne pojęcie granicy. Więc gdy x dąży coraz bliżej i bliżej do 1…
do czego ta funkcja dąży? Do czego cały czas zbiega, coraz bliżej i bliżej?
Z lewej strony, bez znaczenia jak blisko 1 jesteście, dopóki nie jesteście w samej 1, f(x)= 1
Z prawej strony mamy identyczną sytuację. Więc możecie stwierdzić, z czasem
oswoicie się z tym pojęciem, gdy zrobimy więcej przykładów, że granica
(lim, skrót od limes) funkcji, gdy x dąży do 1 jest równa…
Im bardziej się zbliżamy, możemy być niewiarygodnie blisko 1, o ile tylko nie jesteśmy w samej jedynce
Nasza funkcja będzie równa 1, gdy będzie zbiegać coraz bliżej i bliżej do 1,
Tak naprawdę jest równa 1 cały czas. Więc w tym wypadku możemy powiedzieć, że granica tej funkcji, gdy x dąży do jedynki
jest równa 1. Więc jeszcze raz, korzystając z naszego dotychczasowego zapisu mówimy “Spójrzmy do czego zbiega funkcja
gdy x dąży coraz bliżej i bliżej do 1?”
Pozwólcie, że przedstawię Wam inny przykład, tym razem z krzywą, byście zrozumieli ogólną ideę
Powiedzmy więc, że mamy funkcję f(x), albo lepiej, dla odróżnienia, nazwijmy ją g(x)
Więc mamy funkcję g(x) równą… Mogę zdefiniować ją w ten sposób, możemy zdefiniować ją jako x²
gdy x nie jest równy 2, a gdy jest równy 2, wtedy f(x)=1. Więc ponownie mamy całkiem interesującą
funkcję, która, jak możecie zobaczyć, nie jest ciągła w każdym punkcie. Posiada nieciągłość. Pozwólcie, że ją narysuję.
To jest moja oś y, tu po prawej moja oś x. Powiedzmy, że tutaj jest x równy 1, a tutaj x równy 2,
tutaj jest -1, a tutaj -2... Więc wszędzie za wyjątkiem x=2 mamy funkcję x². Pozwólcie, że narysuję,
będzie to parabola, która wygląda mniej więcej tak… wygląda jakoś tak…
Pozwólcie, że narysuję lepszą parabole. Więc to wygląda mniej więcej tak. Być może nie jest to najpiękniejsza
parabola, jaka kiedykolwiek została narysowana, ale mam nadzieję, że daje Wam to obraz jak parabola
wygląda. Powinna być symetryczna... O nie, pozwólcie, że narysuję ją jeszcze raz, bo ta jest jednak okropnie brzydka.
Ta wygląda dużo lepiej, ok, w porządku, mamy to!
To jest wykres funkcji x², ale w punkcie x=2 wartość funkcji nie jest równa x², gdy x=2. Więc jeszcze raz, gdy x=2,
powinniśmy mieć nieciągłość, o tutaj, więc narysuję w tym miejscu przerwę,
ponieważ gdy x=2 wartość funkcji jest równa 1.
Nie będę tego robił w tej samej skali. Na osi y tu będzie 4, tu będzie 2,
tu będzie 1 i tu będzie 3. Więc dla x równego 2 wartość funkcji wynosi 1.
Więc jest to nieco dziwna funkcja, ale możemy ją zdefiniować w ten sposób, możemy zdefiniować funkcję
jak tylko chcemy! I zauważmy, że wygląda ona zupełnie jak wykres f(x)=x², z takim wyjątkiem, że gdy x=2
to mamy przerwę, ponieważ nie używamy wzoru "g(x)=x²", gdy x=2, ale "g(x)=1".
Jeżeli mówiłem f(x), to przepraszam. ;)
Używamy g(x)=1 i dlatego dokładnie w dwójce wartość funkcji spada do 1, a potem dalej idzie tak, jak x².
I teraz kilka rzeczy. Jeżeli mam zwyczajnie obliczyć funkcję g(2)
to patrzę po prostu na tę definicję. Okej, gdy x=2, korzystam z dokładnie tego warunku tutaj
i wiem, że wartość będzie równa 1. Zadajmy sobie bardziej interesujące pytanie:
"jaka będzie granica funkcji g(x), gdy x będzie zbliżał się do 2?". Kolejny wyszukany zapis,
ale to pytanie o coś bardzo, bardzo prostego. Mówi ono: "gdy x zbliża się coraz bardziej i bardziej do 2..."
"gdy zbliża się coraz bardziej i bardziej" - nie jest to ścisła definicja, zajmiemy się tym w następnych filmach
"...gdy x zbliża się coraz bardziej i bardziej do 2, to do czego zbliża się g(x)?" Gdy weźmiemy 1.9 i potem 1.999, i potem 1.999999,
i potem 1.9999999, to do czego zbliża się g(x)? Gdybyśmy mieli przejść w dodatnim kierunku,
gdybym powiedział: 2.1, to ile wynosi g(2.1)? g(2.01)? g(2.001)?
Do czego się zbliża funkcja, gdy podchodzimy coraz bliżej i bliżej?
I możemy to sami zobaczyć, po prostu rysując wykres. Jeżeli x zbliża się coraz bardziej i bardziej do 2
to gdy prześledzimy to na wykresie, zauważymy, że zbliżamy się do 4.
nawet jeżeli to nie jest wartość funkcji w tym punkcie - czyli 1 - to granica g(x)
gdy x zbliża się do 2 jest równa 4. Możemy to nawet policzyć, używając kalkulatora.
I zróbmy to, bo wydaje mi się interesujące. Więc wyjmijmy kalkulator...
Wyjmijmy mój zaufany TI-85... Więc mam mój kalkulator... I możemy policzyć,
okej, jaką wartość osiągniemy, gdy x=2? Spróbujmy 1.9. Dla x=1.9 użylibyśmy tego
pierwszego warunku, o tutaj. Więc mamy 1.9² i dostajemy 3.61.
A co, jeśli podejdziemy do 2 jeszcze bliżej? A więc 1.99 i jeszcze raz podnieśmy to do kwadratu,
I mamy 3.96. A co jeśli podniesiemy do kwadratu 1.999?
Otrzymamy 3.996. Zauważmy, że zbliżam się coraz bardziej i bardziej do naszego punktu.
Gdy podejdę naprawdę blisko - 1.999999999999²? Co otrzymam? To nie będzie jednak
dokładnie 4 - ten kalkulator wszystko zaokrągla - ponieważ dostaniemy liczbę naprawdę, naprawdę
naprawdę naprawdę bliską 4. I możemy zrobić coś takiego też w dodatnim kierunku i
i musi to być ta sama liczba, którą chcemy otrzymać, gdy zbliżamy się od dołu
i gdy zbliżamy się od góry. Gdy spróbujemy 2.1², dostaniemy 4.4...
Przejdźmy kilka kroków dalej...
2.0001². To jest znacznie bliżej 2. I zbliżamy się jeszcze bardziej do 4.
Im bliżej jesteśmy 2, tym bardziej zbliżamy się do 4.
Więc po raz kolejny możemy to policzyć i zauważyć, że granica, gdy x zbliża się do 2 z obydwóch stron
funkcji g(x) - nawet gdy dokładnie w 2, funkcja jest równa 1, ponieważ jest nieciągła -
to granica, gdy zbliżamy się do 2, jest coraz bliżej i bliżej, i bliżej 4.