Tip:
Highlight text to annotate it
X
Witajcie w prezentacji poświęconej logarytmom.
Logarytm to kolejne obok przeciwprostokątnej trudne słowo, zobaczmy jak się je zapisuje.
Włączę tylko narzędzie do pisania.
Logarytm.
Jedno z kilku słów, w których popełniam błędy w pisowni.
Gdy chodziłem na MIT jedna z grup wokalnych
nazywała się logarytmy.
Od słowa rytm, tak jak w muzyce.
Zresztą nieważne, uciekam trochę od tematu.
Co to jest logarytm?
Cóż, najprościej wytłumaczyć czym jest logarytm
znając najpierw -- wydaje się, że najłatwiej powiedzieć, że jest odwrotnością
funkcji wykładniczej.
Pozwólcie, że wyjaśnię.
Jeżeli powiedziałbym dwa do trzeciej potęgi -- cóż, znamy to
z modułów poświęconych funkcji wykładniczej.
dwa do trzeciej potęgi jest równe osiem.
Znów, to jest dwójka, to nie jest "z".
Dwa do trzeciej potęgi to osiem. Okazuje się, że
log -- log to skrót od słowa logarytm.
Logarytm o podstawie dwa z ośmiu jest równy trzy.
Myślę, że patrząc na to masz ochotę przyznać,
że widać w tym pewien sens.
Co to mówi? Pytając Cię o to ile wynosi logarytm o podstawie dwa z
osiem, pytam: dwójka podniesiona do jakiej potęgi da nam osiem?
Odpowiedzią dla na logarytm -- można powiedzieć że odpowiedzią
na to wyrażenie logarytmiczne, że jeżeli rozwiążemy to
wyrażenie logarytmiczne, uzyskamy liczbę, która jest tak naprawdę
wykładnikiem, otrzymamy potęgę do której musimy podnieść dwójkę by otrzymać osiem.
Jak pamiętam, jest to trójka.
Zróbmy jeszcze kilka przykładów i powinieneś załapać o co chodzi.
Mamy logarytm -- co się stało z moim wskaźnikiem?
logarytm o podstawie cztery z 64 jest równy x.
To równanie można zapisać inaczej: cztery podniesione
do potęgi x jest równe 64.
Jeszcze inaczej: cztery podniesione do jakiej
potęgi da mi 64?
Wiem, że cztery podniesione do trzeciej potęgi daje 64.
W tym przypadku wiemy, że to równa się trzy.
Logarytm o podstawie cztery z 64 jest równy trzy.
Zrobię jeszcze kilka przykładów, myślę że im więcej
przykładów zobaczycie, tym bardziej stanie się to dla was zrozumiałe.
Logarytmy to proste funkcje, mogą się jednak stać
problematyczne przez to, że są odwrotnością potęgowania,
które samo w sobie potrafi sprawić problemy.
Ile wynosi logarytm o podstawie dziesięć... powiedzmy z miliona?
Dla jasności dodam trochę przecinków. [w USA oddziela się część całkowitą od ułamkowej za pomocą kropki]
To jest pytajnik. [przecinkami oddziela się każde kolejne trzy zera, w Polsce czasem używa się do tego większych odstępów]
Cóż, musimy się spytać: dziesiątka podniesiona do jakiej potęgi
da nam milion.
Dziesiątka podniesiona do dowolnej potęgi odpowiada jedynce z
z liczbą zer odpowiadającą potędze do której podnosimy -- dziesięć do potęgi piątej
odpowiada jedynce po której jest pięć zer.
Jeżeli mamy jeden po którym następuje sześć zer, odpowiada to
podniesieniu dziesiątki do szóstej potęgi.
Dziesięć do potęgi szóstej daje milion.
Skoro dziesięć do szóstej daje milion, logarytm o podstawie
dziesięć z miliona jest równe sześć.
Pamiętajcie, ta szóstka to jest potęga do której podnosimy dziesiątkę
by otrzymać milion.
Wiem, że opowiadam o tym na sto różnych sposobów.
Mam nadzieję, że jeden czy dwa z tych wielu różnych sposobów
wyjaśniania wyda się wam zrozumiały.
Zróbmy jeszcze kilka.
Zrobimy teraz nieco trudniejszy przypadek.
Logarytm o podstawie jedna druga z jednej ósmej.
Jest równy x.
Przypomnijmy sobie, że odpowiada to
powiedzeniu jedna druga, ups.
Jedna druga.
To miały być nawiasy.
Do potęgi x jest równa jednej ósmej.
Cóż, wiemy że jedna druga do trzeciej potęgi jest równa jednej ósmej.
Czyli logarytm o podstawie jedna druga z jednej ósmej jest równy trzy.
Zróbmy jeszcze kilka zadań.
Pozmieniajmy trochę w logarytmie.
Powiedzmy, że logarytm o podstawie x z 27 jest równy 3.
Ile wynosi x?
Ten sam tok myślenia co wcześniej, ten zapis mówi: x podniesione
do trzeciej potęgi jest równe 27.
Inaczej: x jest równy pierwiastkowi sześciennemu z 27.
Oznacza to tyle: mamy jakąś liczbę, która pomnożona
przez siebie trzy razy daje 27.
W tym momencie pewnie już wiesz, że
jest to trójka.
X równa się trzy.
Możemy zapisać: logarytm o podstawie trzy z 27 jest równy trzy.
Niech pomyślę o kolejnym przykładzie.
Zajmuję się jedynie małymi liczbami, ponieważ nie mam przy sobie
kalkulatora i muszę je wymyślać w mojej głowie.
Ile to będzie logarytm -- pomyślmy.
Ile to jest logarytm od podstawie sto z jedynki?
To jest szczególny problem.
Znów, nie wiemy czemu to jest równe,
więc pytajnik.
To jest logarytm o podstawie sto z jeden.
To mówi nam, że sto podniesione do nieznanej potęgi
daje jeden.
Do jakiej potęgi musimy podnieść -- jeżeli mielibyśmy dowolną liczbę
to do jakiej potęgi musimy ją podnieść by otrzymać jeden?
Jeżeli pamiętacie to z zasad potęgowania,
lub z modułów poświęconych potęgowaniu, dowolna liczba
podniesiona do potęgi zerowej jest równa jeden.
Możemy napisać, że sto podniesione do potęgi zerowej jest równe jeden.
Możemy napisać: logarytm o podstawie sto z jedynki jest równy zero,
ponieważ sto podniesione do zerowej potęgi jest równe jeden.
Zadam kolejne pytanie.
Jeżeli zapytałbym ile wynosi logarytm o podstawie dwa z zera?
Czemu to jest równe?
Pytam: dwa podniesione,
powiedzmy do potęgi x.
Dwa do jakiejś potęgi x jest równe zero.
Ile wynosi x?
Czy istnieje jakakolwiek liczba, do której mogę podnieść dwa
by uzyskać zero?
Nie.
To nie posiada skończonej odpowiedzi.
Nie posiada skończonej odpowiedzi lub nie posiada rozwiązania.
Nie ma takiej liczby do której mogę podnieść dwa
i otrzymać zero.
Podobnie jeżeli zapytałbym o logarytm o podstawie trzy z
minus jedynki.
Zakładam, że posługujemy się liczbami rzeczywistymi,
z którymi jak mi się wydaje mieliście dotąd najwięcej
do czynienia.
Nie ma takiej liczby, do której mógłbym podnieść trójkę
by otrzymać ujemną liczbę, czyli to też nie posiada odpowiedzi.
Tak długo jak posiadać dodatnią podstawę tutaj,
ta liczba musi być większa,
większa lub równa? Nie.
Musi być większa niż zero.
Nie może być równa.
Nie może być zerem i nie może być ujemna.
Zróbmy jeszcze kilka zadań.
Wydaje mi się, że mamy jeszcze półtorej minuty.
Jesteście już przygotowani do pierwszego poziomu modułu logarytmów.
Ale zróbmy jeszcze kilka.
Ile wynosi logarytm o podstawie osiem -- to będzie trochę
trudniejsze -- z 1/64.
Ciekawe.
Wiemy, że logarytm o podstawie osiem z 64 jest równy dwa, prawda?
Ponieważ osiem do kwadratu jest równe 64.
Ale osiem podniesione do jakiej potęgi jest równe 1/64?
Nauczyliśmy się z modułu poświęconego ujemnym potęgom,
że to jest równe minus dwa.
Jak pamiętacie, osiem do potęgi minus drugiej odpowiada
jednej ósmej podniesionej do drugiej potęgi.
Osiem do kwadratu, co daje 1/64.
Ciekawe.
Zostawię was w tym miejscu.
Jeżeli bierzecie odwrotności liczby z której wyciągacie
logarytm, odpowiedź zmienia się na przeciwną.
Zrobimy jeszcze znacznie więcej zadań z logarytmów i
poznamy znacznie więcej własności logarytmów w przyszłych modułach.
Wydaje mi się, że jesteście w tym miejscu już gotowi by zająć się pierwszym poziomem
ćwiczeń dotyczących logarytmów.
Do zobaczenia w następnym module.