Tip:
Highlight text to annotate it
X
Zobaczmy czego możemy się nauczyć o rozkładzie na ułamki proste,
nazywanym także czasami rozwijaniem
na ułamki proste.
Rozkład na ułamki proste.
Zasada jest taka, że bierzemy funkcję wymierną,
funkcja wymierna to po prostu funkcja albo wyrażenie gdzie
jedno wyrażenie jest dzielone przez drugie, zasadniczo
tak żeby rozłożyć lub rozwinąć je na prostsze części.
Pierwszą rzecz jaką musimy zrobić zanim będziemy
rozkładać na ułamki proste, to
upewnić się, że licznik jest niższego stopnia
niż mianownik.
W tym wypadku, przykład, który tutaj przedstawiłem
zapisałem go tutaj, to nie jest ten przypadek.
Licznik jest tego samego stopnia co mianownik.
Więc pierwsze co zrobimy, żeby otrzymać
licznik mniejszego stopnia
niż mianownik, to dzielenie
wielomianu z resztą.
Zrobiłem już video o tym.
Przypominam, żeby to zrobić, dzielimy licznik przez
mianownik, żeby otrzymać resztę, więc dzielimy przez x
do kwadratu minus 3x minus 40, x do kwadratu minus 2x minus 37.
Więc ile razy?
Popatrzmy na największą potęgę, więc x do kwadratu mieści się w
x do kwadratu tylko jeden raz, jeden raz całe to wyrażenie, x do kwadratu
minus 3x minus 40 i teraz chcemy odjąć to od
tego żeby otrzymać resztę.
Popatrzmy, jeżeli odejmuje, odejmę teraz i wtedy
minus minus daje plus, plus, wtedy możemy je dodać.
Te wyrazy się redukują.
Minus 2x plus 3x to x.
Minus 37 plus 40, to plus 3.
Więc to wyrażenie tutaj może być zapisane jako
1 plus x plus 3 podzielone przez x do kwadratu
minus 3x minus 40.
Może się wydawać, że jakaś magia właśnie się stała, ale
dokładnie to samo robiliście w czwartej lub piątej
klasie, kiedy uczyliście się zamieniać ułamek niewłaściwy
na liczbę mieszaną.
Zróbmy mały przykład tu z boku.
Jeśli mielibyśmy 13 podzielone przez 2 i chcielibyśmy zamienić to na liczbę mieszaną to
co byśmy zrobimy? Prawdopodobnie wszyscy mogą to teraz w pamięci policzyć, ale
co zrobiliście to, podzieliliście licznik przez mianownik,
dokładnie tak jak zrobiliśmy to tutaj.
2 mieści się w 13.
Widzimy, że 2 mieści się w 13 sześć razy, 6 razy 2 to 12,
odejmujemy to od tego, otrzymujemy resztę równą 1.
2 nie mieści się w 1, więc jest to nasza reszta.
Jeżeli chcemy to inaczej zapisać, to będzie to liczba razy ile
mianownik mieści się w liczniku, to jest 6, plus
reszta z dzielenia przez mianownik.
Plus 1 dzielone przez 2.
W szkole podstawowej pisaliśmy, że
to jest 6 1/2, ale 6 1/2 to to samo co 6 plus 1/2.
Co jest dokładnie tym samym co zrobiliśmy tutaj.
Mianownik mieścił się w liczniku dokładnie jeden raz,
oraz została reszta równa x plus 3, więc mamy 1 plus x
plus 3 podzielone przez to wyrażenie.
Teraz widzimy, że licznik w tym wyrażeniu wymiernym
ma niższy stopień niż mianownik.
Największy stopień tutaj to 1, a tutaj 2.
Jesteśmy zatem gotowi do rozkładania na ułamki proste.
Czyli, musimy wziąć to wyrażenie u góry i zamienić je
na dwa prostsze wyrażenia, gdzie mianownikami są
czynniki tego niższego wyrażenia.
Wiedząc to rozłóżmy na czynniki to niższe wyrażenie.
Popatrzmy.
Jakie dwie liczby dodane do -3, i kiedy je przemnożymy
to otrzymamy -40?
Popatrzmy.
Muszą być różnych znaków, ponieważ kiedy
je pomnożymy to otrzymamy znak ujemny, więc musi być
minus 8 i plus 5.
Więc możemy przepisać to tutaj jako
1 plus x plus 3 podzielone przez x plus 5 razy x minus 8.
5 razy -8 to -40, 5 razy ujemne 8 to minus 40, plus 5
minus 8 to minus 3, więc mamy wszystko ustalone.
Teraz skupimy się na tej części tutaj.
Będziemy pamiętali o tej jedynce, że jest
tutaj z przodu.
To jest wyrażenie, które chcemy rozłożyć na ułamki proste.
I rozłożymy je na dwa prostsze wyrażenia,
gdzie każde z tych będą mianownikami- i twięrdzę, że jeżeli
rachunki będą się zgadzać, to
to będę mógł to rozłożyć
na dwa ułamki, gdzie pierwszy ułamek to po prostu jakaś
liczba a podzielona przez pierwszy czynnik, podzielona przez x plus 5, plus jakaś
liczba b podzielona przez drugi czynnik, podzielona przez x minus 8.
To jest moje twierdzenie. I jeśli rozwiążemy to względem a i b, w ten sposób,
że faktycznie po dodaniu otrzymamy to, to wtedy skończymy,
będziemy mieli pełen rozkład na ułamki proste.
Więc spróbujmy to zrobić.
Jeśli dodalibyśmy te dwa wyrażenia to co byśmy otrzymali?
Żeby dodać cokolwiek, znajdujemy wspólny mianownik,
wspólny mianownik, najprostszy wspólny mianownik to
przemnożenie dwóch mianowników, zapiszę to tutaj.
Więc a podzielone przez x plus 5 plus b podzielone przez x minus 8 jest równe,
znajdźmy wspólny mianownik, jest on równy
x plus 5 razy x minus 8.
Dalej wyrażenie a, a podzielone przez x plus 5 to to samo
co a razy x minus 8 podzielone przez całe to wyrażenie.
To znaczy, jeżeli zapiszę to tutaj, to
skrócilibyśmy te dwa wyrażenia i otrzymalibyśmy a podzielone przez x plus 5.
Dalej moglibyśmy to dodać do, zapiszmy wspólny mianownik, x plus
5 razy x minus 8, i byłoby to b razy x plus 5.
Ważne żeby zrozumieć to, popatrzmy.
To wyrażenie to dokładnie to samo co to wyrażenie, jeżeli tylko
uprościmy x minus 8, i to wyrażenie to dokładnie to samo
co to wyrażenie, jeśli tylko uprościmy x plus 5.
Ale teraz skoro mamy wspólny mianownik, możemy dodać
je do siebie, więc otrzymamy- zapiszę lewą stronę tutaj
a podzielone przez x plus 5 - przepraszam,
chcę zapisać to tutaj.
Czyli x plus 3 podzielone przez x plus 5 razy x minus 8 jest równe,
jest równe sumie tych dwóch wyrażeń na górze.
a razy x minus 8 plus b razy x plus 5, wszystko to podzielone przez
ich wspólny mianownik, x plus 5 razy x minus 8.
Więc mianowniki są takie same, więc wiemy, że
jeśli dodamy to do siebie to otrzymamy to.
Więc jeśli chcemy to rozwiązać wzglęgam a i b, musimy
to przyrównać.
Możemy zignorować mianowniki.
Możemy powiedzieć, że x plus 3 jest równe a razy x minus 8
plus b razy x plus 5.
Są dwa sposoby rozwiązania tego dla a i b od
tego momentu idąc dalej.
Jeden to sposób, którego uczyłem się w 7
lub 8 klasie, który zajmuje trochę więcej czasu niż,
jest szybszy sposób i nigdy nie zaszkodzi zrobić to tym
szybszym sposobem najpierw.
Jeśli chcemy rozwiązać to względem a, to wybierzmy takie x, które
spowoduje, że to wyrażenie zniknie.
Więc jakie x spowoduje zniknięcie tego wyrażenie?
Jeżeli powiem, że x to -5 to wtedy to stanie się 0
i b zniknie.
Więc jeśli powiemy, że x jest równe -5, wybieramy dowolne x żeby
móc rozwiązać to- wtedy to stałoby się minus 5
plus 3, zapiszę to, minus 5 plus 3, jest równe
a razy -5 minus 8, zapiszę to,
-5 minus 8, plus b razy -5 plus 5.
Wybieramy -5 żeby wyrażenie było równe 0.
Więc otrzymujemy -5 plus
3 to -2, jest równe, ile to jest? -13a
plus- to jest 0, prawda?
To jest 0.
-5 plus 5 to 0, 0 razy b to 0 i dalej dzielimy obie strony przez
-13, otrzymujemy- minusy się redukują- otrzymujemy
2 podzielone przez 13 jest równe a i teraz możemy zrobic to samo tutaj,
pozbyć się zmiennej a po przez przyrównanie x do 8.
Jeśli x jest równe 8, to mamy x plus 3 jest równe 11, co jest
równe a razy 0, plus b razy- ile to jest 8 plus 5?
plus b razy 13.
Wtedy otrzymujemy, że 11 jest równe 13b, dzielimy obie strony przez 13,
otrzymujemy że b jest równe 11 dzielone przez 13.
Wiec byliśmy w stanie wyznaczyć a i b.
Zatem możemy teraz wrócić do naszego pierwszego równania
i możemy powiedzieć wow.
To musi być po prostu równe 2 przez 13 i to musi być
równe 11 przez 13.
Więc to co oryginalnie zapisaliśmy tutaj
może być rozłożone na 1, to jest to 1 tutaj, plus
to, czyli 2 dzielone przez 13- zapiszę to w ten sposób,
2 dzielone przez 13, dzielone przez x plus 5.
Możecie sprowadzić na dół 13 jeśli nie chcecie
mieć ułamka przez ułamek.
Plus 11 przez 13 dzielone przez x minus 8.
I ponownie możenie sprowadzić 13 do dołu żeby nie mieć
ułamka przez ułamek.
Właśnie z sukcesem przeprowadziliśmy rozkład tego,
nie chcę powiedzieć, że to koniecznie uprościliśmy,
ponieważ moglibyście powiedzieć, że tutaj mamy tylko jedno wyrażenie,
a teraz mamy trzy- ale zredukowaliśmy stopień obu
liczników i mianowników.
I moglibyście powiedzieć, że po co mielibyśmy to
kiedykolwiek robić?
I macie rację.
W algebrze najprawdopodobniej nie będziecie.
Ale w praktyce jest to bardzo użyteczna wiedza,
kiedy dojdziecie do pochodnych i równań
różniczkowych, ponieważ przeważnie jest znacznie łatwiej,
dorzucę słowo, którego nie zrozumiecie, wziąć
całkę albo funkcję pierwotną
czegoś takiego jak to, niż takiego jak to.
Później kiedy będziecie robili odwrotną transformatę Laplace'a
i równania różniczkowe jest dużo prościej wziąć odwrotną
transformatę Laplace'a czegoś takiego niż
czegoś takiego.
Niemniej, mam nadzieję, że pokazałem wam nowe narzędzie pracy,
prawdopodobnie zrobię jeszcze
parę filmów na ten temat, ponieważ nie wyczerpaliśmy
wszystkich przykładów, które moglibyśmy pokazać dla
rozkładu na ułamki proste.