Tip:
Highlight text to annotate it
X
Mamy znaleźć granicę przy x dążącym do nieskończoności z 4x
do kwadratu minus 5x, i to wszystko przez 1 minus 3x do kwadratu.
Nieskończoność to dość dziwna liczba.
Nie możemy po prostu jej wstawić i zobaczyć, co się stanie.
Ale jeśli chcemy obliczyć tę granicę to możemy spróbować,
jeśli chcemy poznać granicę przy tym
liczniku dążącym do nieskończoności, podstawić naprawdę duże liczby
i zobaczymy, że to wyrażenie zbiega do nieskończoności.
Że licznik zbliża się do nieskończoności dla
x dążącego do nieskończoności.
A jeśli podstawimy naprawdę duże liczby do mianownika,
zobaczymy, że także, no
może nie do końca nieskończoność.
3x do kwadratu dąży do nieskończoności, ale my
to odejmujemy.
Jeśli odejmiemy nieskończoność od skończonej liczby,
otrzymamy minus nieskończoność.
Jeśli chcielibyśmy po prostu to oszacować w nieskończoności,
w liczniku dostalibyśmy plus nieskończoność, a
w mianowniku minus nieskończoność.
Napiszę to w ten sposób.
Minus nieskończoność.
I to jest jedna z nieokreślonych postaci,
do których można zastosować regułę de l'Hospitala.
Wy pewnie powiecie - hej, Sal, dlaczego my w ogóle
używamy reguły de l'Hospitala?
Wiemy jak to zrobić bez reguły de l'Hospitala.
Pewnie umiecie to zrobić, albo przynajmniej powinniście.
Dojdziemy do tego za sekundę.
Ale chciałem Wam pokazać, że reguła de l'Hospitala
działa także w przypadku tego typu problemów i tak naprawdę chciałem
pokazać Wam przykład, w którym mielibyśmy wyrażenie nieokreślone postaci
nieskończoność przez minus lub plus nieskończoność.
Zastosujmy tutaj regułę de l'Hospitala.
Jeśli ta granica istnieje, lub jeśli granica ich pochodnych
istnieje, to ta granica będzie równała się granicy przy x
dążącym do nieskończoności z pochodnej licznika.
Pochodna licznika wynosi, pochodna
z 4x do kwadratu to 8x minus 5 przez pochodną
mianownika, cóż, pochodna 1 to 0.
Pochodna minus 3x do kwadratu to minus 6x.
I jeszcze raz, jeśli oszacujemy wartość w nieskończoności,
licznik będzie dążył do nieskończoności.
A mianownik do minus nieskończoności.
Minus 6 razy nieskończoność to minus nieskończoność.
Tak więc to jest minus nieskończoność.
Ponownie zastosujmy regułę de l'Hospitala.
Jeśli granica pochodnych tych koleżków istnieje, lub jeśli
funkcja wymierna pochodnej tego podzielona
przez pochodną tego, jeśli to istnieje, to ta
granica będzie równa granicy przy x dążącym do
nieskończoności z, zmieniam kolory, pochodna
8x minus 5, to po prostu 8.
Pochodna minus 6x, to minus 6.
I to będzie, tutaj mamy już stałą,
także nie ma znaczenia do jakiej granicy dążymy, to jest
cały czas równe tej wartości.
Która wynosi ile?
Jeśli napiszemy to w możliwie najprostszej postaci,
to będzie minus 4/3.
Czyli ta granica istnieje.
To było wyrażenie w postaci nieokreślonej.
A granica pochodnej tej funkcji przez pochodną
tej funkcji istnieje, tak więc ta granica także musi
wynosić minus 4/3.
Na mocy tego samego argumentu, ta granica także musi
wynosić minus 4/3.
A teraz dla tych, którzy mówili - hej, my i tak
wiedzieliśmy jak to zrobić.
Mogliśmy po prostu wyciągnąć x do kwadratu.
Macie całkowitą rację.
I zaraz Wam to pokażę.
Żeby pokazać Wam, że to nie jedyna, wiecie,
że reguła de l'Hospitala to nie jedyna metoda na świecie.
I szczerze powiedziawszy, przy tego typu problemie,
reguła de l'Hospitala raczej nie byłaby moim pierwszym wyborem.
Moglibyście powiedzieć, że ta pierwsza granica, czyli granica przy x
dążącym do nieskończoności z 4x do kwadratu minus 5x przez 1 minus
3x do kwadratu jest równa granicy przy x dążącym do nieskończoności...
Pozwólcie, że narysuję tu linię, żeby pokazać, że to jest równe
temu, nie tamtej rzeczy.
To jest równe granicy przy x dążącym do nieskończoności
Wyciągnijmy x do kwadratu z licznika
oraz mianownika.
Mamy więc x do kwadratu razy 4 minus 5 przez x.
Zgadza się? x do kwadratu razy 5 przez x to będzie 5x.
Podzielić przez, wyciągnijmy x z licznika.
x do kwadratu razy 1 przez x do kwadratu minus 3.
Te x do kwadratu się skracają.
I to będzie równe granicy przy x dążącym do
nieskończoności z 4 minus 5 przez x przez 1 przez x do kwadratu minus 3.
I czemu się to będzie równało?
Cóż, jeśli x dąży do nieskończoności, 5 przez
nieskończoność, ten składnik wyniesie 0.
Super wielki, nieskończony mianownik,
będzie zerem.
To będzie dążyć do 0.
I ten sam argument.
To tutaj też dąży do 0.
To, co nam zostaje to 4 i minus 3.
Tak więc to wyniesie minus albo 4 przez
minus 3, albo minus 4/3.
Widać, że nie musicie korzystać z reguły de l'Hospitala, by
rozwiązać to zadanie.