Tip:
Highlight text to annotate it
X
Mówiłem już wiele o używaniu wielomianów w celu przybliżania
funkcji, ale chce Ci pokazać, że to
przybliżenie faktycznie działa.
W tym celu używam Wolfram Alpha
Jest to bardzo fajna strona
Dzięki niej można robić zwariowane rzeczy z matematyką.
Zatem wolframalpha.com
i mam to dzięki kopiuj/wklej. Spotkałem Steven`a Wolfram`a
na konferencji jakiś czas temu
A on powiedział - powinieneś użyć wolfram alpha w swoich
filmach. Odpoiwedziałem - Świetnie! użyje. I teraz właśnie to
robię tutaj i jest to bardzo użyteczne ponieważ to co
on robi - moglibyśmy wyliczać samemu
czy nawet wyliczyć to na graficznym kalkulatorze albo moglibyśmy
obliczyć to za pomocą jednego kliknięcia na wolfram alpha
- czyli zobaczyć jak dobrze możemy przybliżyć
sin(x) używając rozwinięcia w szereg Maclaurin`a
albo nazywając to inaczej - rozwinięcie w szereg Taylora dla punktu x = 0
używając do tego coraz to większej ilości wyrazów
mając dobre przeczucie, że
czym więcej wyrazów
tym lepiej (wielomian) przytula się do krzywej sinusa.
Zatem to pomarańczowe tutaj jest sin(x).
Powinien wyglądać dość znajomo dla Ciebie
i w poprzednich filmach doszliśmy od tego
czym rozwinięci Maclaurin`a dla sin(x) jest
i wolfram alpha zrobił to dla nas także.
On właściwie wyliczył wszystkie wyrazy dla nas.
3! jest równe 6, 5! jest równe 120 itd.
Interesujące jest, że możesz wybrać
ilość przybliżeń dla wykresu
a co on zrobi to jeśli wybierzesz
jeden wyraz do przybliżenia
jeśli byśmy powiedzieli, że cały wielomian ma być równy x,
jakby to wyglądało?
To będzie ten wykres tutaj
powie nam ilu składników użyliśmy
poznamy to po ilości kropek tutaj -
co, jak myślę, jest całkiem sprytne.
Zatem to tutaj jest funkcją p(x)
p(x)=x, więc jest to bardzo kiepskie przybliżenie
jednak dla sin nie jest ono takie kiepskie
otula funkcje właśnie tutaj i zaczyna
zakręcać od funkcji przy tym punkcie
Więc jeśli masz x -x^3/6
Czyli teraz masz dwa składniki
w rozwinięciu, więc myślę, że powinniśmy powiedzieć
że dotarliśmy do trzeciego wyrazu z kolei , bo tak pokazuję nam numerowanie kropkami
nie mówią one o ilości wyrazów tylko o ich porządku
Mamy tutaj jedną kropkę, ponieważ odpowiada ona pierwszemu stopniowi
Tutaj mamy dwa składniki - w pewnym sensie
kiedy rozwijasz sin(x) to nie ma on wyrazu drugiego stopnia
teraz mamy przybliżenie wielomianem trzeciego stopnia
Popatrzmy na trzeci stopień.
to ta krzywa tutaj, zatem jeśli masz pierwszy składnik
otrzymujesz prostą linie. Odejmujesz x^3 /6
do tego x i otrzymujesz krzywą
wyglądająca tak.
Zauważ, że zaczyna ona otulać sin trochę wcześniej
I przestaje go otulać trochę później
Więc drugi wyraz spisał się całkiem nieźle, otula on krzywą sinusa całkiem nieźle
zwłaszcza jeśli patrzymy na małe liczby.
Mając kolejny wyraz tworzący wielomian 5 stopnia.
więc x - x^3/6 + x^5/120, popatrzmy na te 5 kropek
To jest tutaj - 1, 2, 3, 4, 5
Więc to jest tak krzywa tutaj.
Zauważ, że zaczyna otulać ona krzywą trochę wcześniej niż fioletowa wersja.
I otula ją trochę dłużej.
więc otula ją trochę, trochę..
dłużej, a później zakręca w ten sposób.
Możesz zauważyć, że jeśli będę robił tak dalej
te pierwsze cztery wyrazy dadzą nam wielomian siódmego stopnia
Poszukajmy siedmiu kropek tutaj.
Zachowują się one w ten sposób.
Raz jeszcze, przytulają krzywą wcześniej
niż ta wersja z trzema składnikami.
I nie przestają otulać krzywej aż dotąd.
Ostatni - z x^9.
Byłoby jeszcze więcej.
Zaczyna się tu, otula dłużej niż wcześniejsze, a później odchodzi.
Jeśli pomyślisz o tym to nabierze to sensu.
Każdy kolejny wyraz, który dodajemy do rozwinięcia
ma wyższy stopnień x przez coraz większą liczbę.
Zatem dla małych wartości x to mianownik zdominuję licznik.
Zwłaszcza jeśli jesteśmy poniżej jedynki, bo jeśli weźmiemy coś co ma
wartość bezwzględną mniejszą niż 1 to pomniejszymy to.
Więc jesteśmy coraz bliżej początku.
Te późniejsze składniki nie liczą się tak bardzo.
Więc jakby nie tracisz precyzji wyznaczonej przez wcześniejsze wyrazy.
Te podkręcone składniki dochodzą kiedy licznik zaczyna dominować mianownik
Ten ostatni wyraz zaczyna być istotny tutaj.
Zaczyna być istotny w momencie, w którym x^9 przeważa *** 362 880
Tak samo - jeśli chodzi o część ujemną
Więc mam nadzieję, że nabrało to dla Ciebie sensu.
Mamy tylko 1..2..3..4..5 wyrazów.
Wyobraź sobie co by się stało jeśli mielibyśmy nieskończoną liczbę wyrazów.
Myślę, że wyczuwasz, że przytuliłoby to
krzywą sinusa aż do nieskończoności.
Mam nadzieję, że czujesz się już z tym lepiej.
Dla zabawy możesz wpisać rozszerzenie Taylora w zerze
czy rozwinięcie Maclaurin`a w szereg
Dla sin(x), cos(x), exp(x)w wolframalpha.com
i spróbuj z różnymi funkcjami
dodając i odejmując wyrazy, aby zobaczyć
jak zmienia się otulenie krzywej.